¿Cuánto tiempo duraría este eclipse?

Question

¿Cuánto tiempo duraría este eclipse?

Harthag

Para una luna que orbita alrededor de un gigante gaseoso que a su vez orbita alrededor de una estrella, quiero saber cuánto duraría el eclipse para un observador parado en la luna cuando el planeta pasa entre la luna y la estrella.

Es probable que los valores reales que intento usar al final varíen un poco de estos, pero me gusta la simplicidad, así que aquí están los parámetros para esta versión simplificada:

La estrella = nuestro Sol.

El planeta = radio de Júpiter, orbita la estrella a una distancia de 1 UA (la distancia de la Tierra al Sol) lo que le da un año orbital equivalente a un año terrestre (o lo suficientemente cerca como para ser una diferencia insignificante, por simplicidad)

La luna = orbita el planeta a una distancia de 4 millones de KM, lo que debería darle un tiempo orbital alrededor del planeta de unos 42 días. No está bloqueado por mareas y gira sobre su eje a una velocidad que hará que el mismo punto en la superficie mire hacia la estrella exactamente una vez cada 24 horas (nuevamente, para simplificar)

Para simplificar (¿ve la tendencia aquí?), suponga que todas las órbitas y los ecuadores de los 3 cuerpos comparten un plano y son circulares, sin órbitas excéntricas o inclinadas o ejes inclinados, etc., y el observador está parado en un punto en el ecuador de la luna. Suponga que el eclipse "comienza" cuando la estrella está directamente sobre la cabeza (mediodía) del observador, y el observador dice que está en el mismo lugar hasta que termina el eclipse.

Avíseme si omití alguna variable necesaria, probablemente las tenga disponibles y simplemente olvidé incluirlas o no me di cuenta de que eran necesarias.

¿Cuánto tiempo pasará antes de que el observador vuelva a ver la estrella/el sol? (respuestas redondeadas o aproximadas funcionarían, pero cuanto más precisas mejor, y también se agradece una explicación de cómo se determinaron los números)

Alejandro

Relacionado: Luna similar a la Tierra alrededor del Gigante Gaseoso. Duración del eclipse? - no es un duplicado completo solo porque sus números son diferentes. Además, la respuesta seleccionada allí está muy bien diseñada, pero desafortunadamente contiene un error matemático que señalé en mi comentario.

Harthag

@Alexander Ciertamente relacionado, sí. Pero no es solo un cambio en los números reales de las variables conocidas, también es un cambio en el que las variables se conocen y se abordan desde el extremo opuesto del problema. Revisé esa pregunta y respuesta, antes de hacer la mía, pero no pude averiguar cómo llegar a la respuesta que necesito, retrocediendo a través de esa matemática y luego tratando de retroceder con mis números ajustados. Podría volver a intentarlo, si esta pregunta no arroja los resultados, pero no tengo más esperanzas con mis habilidades matemáticas que la persona que hizo esa otra pregunta.

Alejandro

Bueno, sabes el tamaño de la estrella. Conoces la órbita y el tamaño del gigante gaseoso. Y sabes la distancia de la luna al gigante. Eso es todo lo que necesitamos aquí. Repasar las matemáticas en la respuesta de la otra pregunta puede ser un poco desafiante, lo sé. Mi estimación aproximada (sin hacer los cálculos reales) es de 6 horas, pero esto es muy aproximado.

Harthag

@Alexander en mi respuesta a continuación, que usa un enfoque muy diferente, obtuve alrededor de 6.83... horas, por lo que una estimación de 6 horas coincide bastante bien con eso por no haber hecho nada de matemáticas.

Respuestas (2)

¿Cuánto tiempo duraría este eclipse?

Relacionado: Luna similar a la Tierra alrededor del Gigante Gaseoso. Duración del eclipse? - no es un duplicado completo solo porque sus números son diferentes. Además, la respuesta seleccionada allí está muy bien diseñada, pero desafortunadamente contiene un error matemático que señalé en mi comentario.
@Alexander Ciertamente relacionado, sí. Pero no es solo un cambio en los números reales de las variables conocidas, también es un cambio en el que las variables se conocen y se abordan desde el extremo opuesto del problema. Revisé esa pregunta y respuesta, antes de hacer la mía, pero no pude averiguar cómo llegar a la respuesta que necesito, retrocediendo a través de esa matemática y luego tratando de retroceder con mis números ajustados. Podría volver a intentarlo, si esta pregunta no arroja los resultados, pero no tengo más esperanzas con mis habilidades matemáticas que la persona que hizo esa otra pregunta.
Bueno, sabes el tamaño de la estrella. Conoces la órbita y el tamaño del gigante gaseoso. Y sabes la distancia de la luna al gigante. Eso es todo lo que necesitamos aquí. Repasar las matemáticas en la respuesta de la otra pregunta puede ser un poco desafiante, lo sé. Mi estimación aproximada (sin hacer los cálculos reales) es de 6 horas, pero esto es muy aproximado.
@Alexander en mi respuesta a continuación, que usa un enfoque muy diferente, obtuve alrededor de 6.83... horas, por lo que una estimación de 6 horas coincide bastante bien con eso por no haber hecho nada de matemáticas.

AlexP · Answer 1

Establezcamos alguna notación:

La estrella está etiquetada $S$ , el planeta gigante es $P$ y la luna es $M$ .
El diámetro de la estrella es $d_S$ , el diámetro del planeta es $d_P$ y el diametro de la luna es $d_M$ .
El radio de la órbita del planeta es $r_P$ y el radio de la órbita de la luna es $r_M$ .
A una distancia igual al radio $r_M$ de la órbita de la luna $M$ , el planeta $P$ proyecta una sombra (que a los astrónomos les gusta llamar la umbra , usando la palabra latina para sombra) de diámetro $d_U$ .

Vea el siguiente diagrama que muestra la posición de la estrella $S$ , el planeta $P$ y la luna $M$ cuando comienza la fase de totalidad del eclipse para un observador sentado en la superficie de la luna; consideramos que el planeta y la luna orbitan en el plano de la imagen, y los estamos mirando desde el polo norte celeste.

La posición de los tres cuerpos cuando comienza la fase de totalidad del eclipse para un observador. $S$ es la estrella con diámetro $d_S$ . $P$ es el planeta gigante con diámetro $d_P$ y girando alrededor de la estrella en una órbita con radio $r_P$ . $M$ es la luna con diámetro $d_M$ girando alrededor del planeta gigante en una órbita con radio $r_M$ . $d_U$ es el diámetro de la sombra ("umbra") del planeta gigante a una distancia igual al radio $r_M$ de la órbita de la luna $M$ . Trabajo propio, disponible en Flickr bajo licencia CC BY 2.0. El diagrama no está absolutamente a escala.

queremos calcular $d_U$ dado $d_S$ , $d_P$ , $r_P$ y $r_M$ . (¿Por qué queremos calcular $d_U$ ? Porque queremos saber cuánto tiempo la luna $M$ tardará en moverse a través de la sombra.)

notas

Los siguientes cálculos no son exactos, sino aproximaciones bastante decentes para una obra de ficción. Los cálculos exactos tomarían más tiempo del que tengo disponible.
El cálculo se refiere a la fase de totalidad del eclipse, desde el momento en que el sol es completamente cubierto por el planeta gigante hasta el momento en que se hace visible la primera franja de luz solar.

De la semejanza de triángulos tenemos

\frac{r_{METRO}}{r_{PAG}} = \frac{d_{PAG} - d_{tu}}{d_{S} - d_{PAG}}

$\frac {r_M}{r_P} = \frac {d_P - d_U}{d_S - d_P}$

Lo que significa que

d_{tu} = d_{PAG} - \frac{r_{METRO}}{r_{PAG}} (d_{S} - d_{PAG})

$d_U = d_P - \frac {r_M}{r_P} (d_S - d_P)$

Conectando los números

$d_S$ = 1.391.400 km (diámetro del Sol)

$d_P$ = 142 984 km (diámetro de Júpiter)

$r_P$ = 149 597 870 km (1 unidad astronómica)

$r_M$ = 4.000.000 km (dado)

encontramos eso

d_{tu} = 142,984 - \frac{4,000,000}{149.597.870} (1,391,400 - 142,984) \approx 109,600 kilómetros

$d_U = 142{,}984 - \frac {4{,}000{,}000}{149{,}597{,}870} (1{,}391{,}400 - 142{,}984) \approx 109{,}600 \text{ km}$

la luna viaja 2 $\pi$ × 4.000.000 kilómetros en 42 días, o 598.399 km por día. La umbra de 109 600 km de ancho se atravesará en 109 600 / 598 399 = 0,183 días, o 4 horas y 24 minutos.

Durante este tiempo, la luna ha girado un poco, unos 60 grados, de modo que el observador todavía está en la sombra: la luna debe moverse en su órbita una distancia de aproximadamente dos tercios de su radio para llevar al observador a la luz. Suponiendo que la Luna tiene el mismo radio que la Tierra, 6400 km, esto llevará unos 4000/598 399 días o unos 10 minutos.

Así que el gran total es de 4 horas y 34 minutos de eclipse total.

PD: ¿Qué pasa con la duración total desde el momento en que el planeta toca el sol hasta el momento en que todo el sol vuelve a ser visible? Dado que el radio de la órbita de la luna es mucho menor que el radio de la órbita del planeta, el diámetro de la penumbra es solo un poco mayor que el diámetro del planeta, o digamos unos 160.000 km. La luna atravesará la penumbra (y la umbra) en unas 6 horas y 50 minutos. Lo que esto significa es que si el eclipse (parcial + total) comienza al mediodía, lo más probable es que termine después de la puesta del sol...

Tenga en cuenta que este post-scriptum es incluso más aproximado que el cálculo de la fase de totalidad, pero aún lo suficientemente bueno para la ficción.

Mirando su diagrama, la forma en que está dibujado tanto dP-dU como dS-dP producen 2 triángulos separados, cuyas bases contribuyen a las distancias y proporciones. Pero RM/RP solo representa un lado, una parte de la relación. Parece que esta duplicación de triángulos y distancias no se tuvo en cuenta en las ecuaciones. Aunque tengo que admitir que tengo problemas para entender exactamente cómo tendría un efecto, mi instinto dice que debería tener algún efecto, pero no lo veo en las matemáticas. ¿Qué me estoy perdiendo?
@Dalila: Los factores de 2 se cancelan, ¿no? $\frac {\frac 12 (d_S - d_P)}{\frac 12 (d_P - d_U)} = \frac {r_P}{r_M}$ . Un triángulo tiene el cateto corto es $\frac 12 (d_S - d_P)$ y el largo cateto sobre $r_P$ , etc.
ESO ES TODO ! Gracias por complacerme. Sabía que era una cosa, solo que ha pasado demasiado tiempo desde que jugué con fracciones, así que no me di cuenta de que la cosa se canceló del resto del proceso al ser ella misma. :PAG

Harthag · Answer 2

Usando un enfoque completamente comparativo, en lugar de un enfoque de cálculo directo, esta es mi mejor respuesta:

La totalidad de un eclipse que involucra al Sol, la Tierra y la Luna reales puede durar hasta 7 minutos y 31 segundos.

El período orbital de esta luna alrededor de su planeta tarda aproximadamente 1 1/3 del tiempo que tarda la luna en orbitar la Tierra, por lo que parece razonable suponer que su velocidad aparente cruza el cielo y, por lo tanto, cruza el frente del estrella, toma 1 1/3 como largo. Esto aumenta el tiempo de totalidad de 7,5 minutos a 10.

EDITAR: El diámetro aparente del Sol es de unos 30 minutos de arco , el diámetro aparente de la Luna es de unos 31 minutos de arco, y el diámetro aparente de este planeta visto desde su luna sería de unos 71 minutos de arco. Como señaló Mike Scott en un comentario (muchas gracias por el aviso), mientras que el tamaño aparente de los planetas es aproximadamente 2,13 veces el tamaño aparente de nuestra Luna,el cambio clave que esto hace es en realidad la diferencia en el número de minutos de arco entre los tamaños de la estrella y los tamaños de los objetos que oscurecen. Entonces, en realidad es una diferencia de solo un minuto de arco entre el Sol y la Luna, pero es una diferencia de 41 minutos de arco entre el Sol y el planeta. Un factor de 41 veces, no solo 2.13 como supuse originalmente. Esto aumenta el tiempo de 10 minutos a 410 minutos de totalidad.

Esto es suficiente para que el Sol se haya puesto, desde la ubicación del observador, antes de que se complete la totalidad, por lo que el observador no volvería a ver el Sol hasta que saliera a la mañana siguiente.

No, eso no está bien. El período de totalidad es muy corto en la Tierra porque el tamaño angular de la Luna y el sol son casi iguales. Si el sol subtiende 30' y la Luna subtiende 31', el periodo de totalidad se basa en ese 1' de diferencia entre ellos donde la Luna puede tapar completamente al sol. En este caso, estamos hablando de 30' y 71', por lo que la diferencia es de 41', cuarenta veces más grande que un poco más del doble. Así que tal vez 400 minutos de totalidad.
@MikeScott Gracias por señalarlo. Estaba usando las matemáticas como si los números fueran de principio a fin de todo el eclipse, no solo la parte de la totalidad, aunque dije que me refería a la parte de la totalidad (que es lo que realmente pretendía). Editaré la respuesta en consecuencia.
Además de la corrección de @MikeScott (aunque calculé que el diámetro angular era de 2°1', para una diferencia de 91')... el gigante gaseoso también viaja más lento a través del zodíaco en comparación con la forma en que se mueve nuestra luna. Su umbra estará en el planeta aproximadamente 1,7 veces más.
Además, creo que una gran respuesta debería mencionar la penumbra, y no solo el tiempo que un observador está en la umbra (totalidad), ya que la penumbra ya es una parte interesante de cualquier eclipse solar. Dado que el tamaño de la penumbra se establece (principalmente) por el diámetro angular del sol, sería solo la duración de nuestra propia penumbra multiplicada por 1,7, dado el viaje más lento del gigante gaseoso a través del zodíaco.
@Ghedipunk Desafortunadamente, no he podido encontrar ningún momento de cuánto duran las etapas de penumbra en un eclipse solar aquí en la Tierra para poder aplicar las mismas tácticas a esas partes de mi escenario de eclipse ficticio.
Cada eclipse solar en la Tierra es diferente (a diferencia de las circunstancias de esta pregunta), por lo que la mejor apuesta es encontrar un eclipse reciente o próximo, encontrar un punto en el camino de la totalidad que estará en su totalidad al mediodía local (lo que coincide mejor con los criterios de esta pregunta). ), y busque las horas de inicio y finalización del eclipse. En el pasado, encontré líneas de tiempo de eclipses en timeanddate.com.
@Ghedipunk: Cada eclipse solar es muy diferente en la Tierra porque el diámetro angular de la Luna está muy cerca del diámetro angular del sol, por lo que pequeñas variaciones en la distancia Tierra-Luna y Tierra-Sol provocan grandes cambios en el tamaño de la mancha oscura De hecho, a veces sucede que la Luna no puede cubrir completamente al Sol y tenemos un eclipse anular (cuando la Luna está en su punto más lejano cuando se alinea con el Sol, y la Tierra está en su punto más cercano al Sol). ).

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Luna similar a la Tierra alrededor del gigante gaseoso. Duración del eclipse?