Su pregunta es similar a otra que respondí , y tomaré prestado mucho de eso.

Hielo VII

Puedo comenzar las respuestas con algunas suposiciones simplificadoras, pero alguien más puede tener una mejor idea de las complejidades involucradas en este cálculo. Las suposiciones específicas que haré son:

1. Temperatura constante

2. El agua es incompresible y, a escala planetaria, tiene una densidad media de ~1,5 g/cm$^3$(ver mi otra respuesta para la justificación)

Con estas suposiciones, esto realmente se convierte en un problema de conectar los números.

Aquí está el diagrama de fase de agua que usaré para hablar sobre el resto de este problema:

Dada nuestra primera suposición, voy a elegir un templado 350K para el agua y el hielo del planeta. En el diagrama de arriba, podemos ver que el hielo VII aparece a ~2GPa. Entonces la pregunta es, ¿cuánta agua se necesita para obtener una presión de 2GPa en el núcleo?

Bueno, dada nuestra segunda suposición, se necesitarían 200 kilómetros de agua para alcanzar 2GPa dada la conversión clásica de 101kPa/10m. Con esa información, podemos calcular la masa del planeta a través de la ecuación

$$m = density*volume = \rho*\frac{4\pi r^3}{3}$$

$$(1.5\frac{g}{cm^3}*10^{15}\frac{cm^3}{km^3})*(\frac{4\pi 200^3\ km^3}{3}) = 5*10^{22}g$$

$5*10^{19}$kg

¡Frio! Desde aquí , podemos ver que está en el rango de grandes asteroides o pequeñas lunas.

Por supuesto, esta es fundamentalmente una estimación aproximada, pero yo diría que tiene una precisión de aproximadamente un orden de magnitud. Como se señaló en los comentarios sobre mi otra respuesta, la suposición de temperatura constante posiblemente sea bastante válida dependiendo de cómo se formó su planeta y qué edad tiene. La densidad del agua "promedio" deja mucho espacio para el error, pero no tenía la confianza suficiente en mi cálculo para hacer la derivada completa (cambio en el módulo de volumen con respecto a la presión a medida que aumenta la profundidad).

Hielo X

Este se vuelve mucho más complicado porque estamos trabajando con dos shells aquí, pero tenemos un conjunto similar de suposiciones:

1. Temperatura constante

2. El agua es incompresible y, a escala planetaria, tiene una densidad media de ~1,5 g/cm$^3$

3. Ice VII es incompresible y, a escala planetaria, tiene una densidad media de ~2,3 g/cm$^3$

A 350K, alcanzamos el hielo X a aproximadamente 50 GPa y podemos responder a la pregunta de manera similar a la anterior: ¿qué espesor debe tener el hielo VII para alcanzar esta presión? Ya sabemos que tendremos 200 km de agua líquida a lo largo de la superficie, por lo que el núcleo es lo único nuevo aquí.

Para obtener 48 GPa adicionales debido a Ice VII, necesitamos aproximadamente 2000 kilómetros adicionales:

$$h = \frac{48*10^9}{2300*9.8} = 2130km$$

Tome esta estimación con un gran grano de sal-$g$no sería constante a través del núcleo de un planeta, sino que dependería más bien de la masa del planeta y la distancia desde la superficie, lo que significa que estamos de nuevo en esas desagradables ecuaciones diferenciales. Hombre, no es de extrañar que los físicos estén enojados todo el tiempo.

Con esto, podemos volver a calcular nuestra masa con la ecuación:

$$m = (V_{core}*\rho_{core}+V_{ocean}*\rho_{ocean})$$

que, si reemplazamos nuestros números y lo resolvemos correctamente, devuelve

$8.9*10^{22}$kg

Que es casi tan grande como las lunas más grandes y en el rango de los planetas más pequeños. ¡Buena pregunta!

Decidí escribir un programa para calcular esto. Construye iterativamente un planeta desde el núcleo hacia el exterior en capas de un metro, calculando la gravedad y ajustando la densidad del material actual para la presión en cada paso.

#include <math.h>
#include <stdio.h>

/* Units are meters, kilograms, seconds */
const double G = 0.00000000006674;

struct
{
    double baseDensity;
    double bulkModulus;
    double lowerPressure;
    double upperPressure;
    const char *name;
} Properties[] = {
    {1000, 2200000000, 50000, 2000000000, "water"},
    {1500, 23900000000 , 2000000000, 50000000000, "ice VII"},
    {2500, 23900000000, 50000000000, 400000000000, "ice X"},
    {3000, 10000000000000000, 400000000000, 1000000000000, "ice XI"}    /* Mostly made-up, but it doesn't matter, because we've only got a 1-meter sphere of it. */
};

/* Calculate from the inside out. */
void CalculatePlanet(double *radius, double *mass)
{
    int currentMaterial = 3;    /* Start with a 1-meter layer of ice XI */
    double pressureNeeded = Properties[currentMaterial].lowerPressure;  /* We need to stack up material to produce this much pressure */
    *radius = 0;
    *mass = 0;

    while(currentMaterial >= 0)
    {
        double shellMass;   /* Mass of the shell */
        double shellPressure;   /* Pressure provided by the shell */
        double newRadius = *radius + 1.0;
        double shellDensity = (pressureNeeded * Properties[currentMaterial].baseDensity) / Properties[currentMaterial].bulkModulus + Properties[currentMaterial].baseDensity;

        /* Add a one-meter layer to the planet */
        shellMass = (((newRadius) * (newRadius) * (newRadius)) - (*radius * *radius * *radius)) * (4.0/3.0) * M_PI * shellDensity;

        shellPressure = G * *mass / (*radius * *radius) * shellDensity;
        if(isnan(shellPressure)) shellPressure = 0;

        pressureNeeded -= shellPressure;
        *mass += shellMass;
        *radius += 1.0;

        if(pressureNeeded < Properties[currentMaterial].lowerPressure)
        {
            printf("Layer: %i %lf %lf %lf %lf %lf\n", currentMaterial, shellPressure, pressureNeeded, shellMass, *mass, *radius);
            currentMaterial--;
        }
    }
}


int main(void)
{
    double mass = 0;
    double radius = 0;
    CalculatePlanet(&radius, &mass);

    double volume = radius * radius * radius * M_PI * 4.0 / 3.0;
    double density = mass / volume;
    double surfaceGravity = G * mass /(radius * radius);

    printf("Planet calculated.  Radius %.0lf meters, mass %.0lf kg, density %0lf kg/m3, gravity %lf m/s2\n", radius, mass, density, surfaceGravity);
}

Usando el mismo planeta de 350K, módulos a granel supuestos y diagrama de fase que Dubukay, obtengo los siguientes planetas:

Núcleo de agua (realizado como control de cordura): radio 1 metro, masa 4189 kg, densidad$1000 kg/m^3$

Núcleo de hielo VII, rodeado por 2555498 metros de agua: radio 2555499 metros, masa$8.98 * 10^{22}$kg, densidad$1285 kg/m^3$, gravedad superficial$0.92 m/s^2$. Aproximadamente del diámetro de Mercurio, pero solo una cuarta parte de su peso.

Núcleo de hielo X, rodeado por 6013480 metros de hielo VII y 349831 metros de agua: radio 6363312 metros, masa$2.44 * 10^{24} kg$, densidad$2261 kg/m^3$, gravedad superficial$4.02 m/s^2$. Casi tan grande como la Tierra, pero solo el 40% de la masa.

Núcleo de hielo XI, rodeado por 2209965 metros de hielo X, 2675055 metros de hielo VII y 301287 metros de agua: radio 5186308 metros, masa$1.85 * 10^{24} kg$, densidad$3174 kg/m^3$, gravedad superficial$4.60 m/s^2$. Un poco más pequeño que la Tierra, y solo un tercio de la masa.

Tenga en cuenta que el planeta con un núcleo de hielo X es más grande que el planeta con un núcleo de hielo XI. Esto no es un error: el hielo X es mucho más denso que el hielo VII; el radio reducido aumenta la gravedad en todos los niveles, lo que genera presiones y densidades más altas.

Resumen

Resulta que incluso los planetas oceánicos de masa relativamente baja son capaces de formar algunos de los hielos exóticos que mencionas en sus núcleos. Ice VII parece formarse en los centros de los planetas de$0.015M_{\oplus}$(masas terrestres), mientras que el hielo X se forma en los centros de los planetas de$1.256M_{\oplus}$. Curiosamente, a pesar del aumento de la masa en dos órdenes de magnitud y el aumento de la presión central en un factor de 25, estos mundos tienen radios que difieren solo en un factor de cuatro. Si bien puede haber una dependencia de la temperatura, dada la relativa simplicidad del diagrama de fase del agua en$\sim300\text{ K}$, sospecho que esto no debería ser un problema, y ​​las ecuaciones de estado relevantes no dependen de la temperatura.

Teoría

Dado que tenemos dos respuestas en competencia ( la de Dubukay y la de Mark ) con resultados muy diferentes, pensé en agregar un tercer método para ver si podía encontrar algo similar. Fui a Seager et al. 2008 , mi conjunto favorito de modelos del interior de exoplanetas terrestres. Su configuración supone que los cuerpos son isotérmicos a bajas presiones, como hizo Dubukay, y utiliza ecuaciones de estado de la forma

$$\rho(P)=\rho_0+cP^n\tag{11}$$ dónde$\rho$es densidad,$P$es presión y$c$y$n$son constantes dependientes de la composición;$n\approx0.5$para la mayoría de los mundos terrestres, pero difiere, lo cual es importante. Esta ecuación es esencialmente un politropo modificado, siendo el único cambio importante que$\rho(0)\neq0$, lo que sería cierto en un politropo clásico. por un puro$\text{H}_2\text{O}$planeta,$n=0.513$y$c=0.00311$. Cuando use estas constantes, tenga en cuenta que la presión está en pascales y la densidad está en kilogramos por metro cúbico.

Seager et al. derivar la siguiente relación masa-radio (he numerado las ecuaciones como están numeradas en el documento):

$$M(R)=\frac{4\pi}{3}R^3\left[\rho(P_c)-\frac{2}{5}\pi GR^2\rho_0^2f'(P_c)\right]\tag{31}$$ dónde$f(P)=cP^n$y$P_c$es la presión central. Se puede demostrar a través del equilibrio hidrostático que $$P_c=\frac{3G}{8\pi}\frac{M^2}{R^4}\tag{27}$$ Dada una presión central deseada, puedo probar varios radios y masas correspondientes y encontrar los valores que necesito.

Estos resultados los podemos comprobar de otra forma: por integración numérica. La estructura de cualquier planeta se rige por dos ecuaciones clave:

$$\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm\rho}{r^2}$$ $$\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho$$ Estas son las ecuaciones de equilibrio hidrostático y continuidad de masa.$r$es una coordenada radial, medida desde el centro del planeta, y$m$es la masa encerrada dentro$r$. Al modelar el planeta como una colección de capas cada vez más grandes y conocer el valor de$P$y$m$en cualquier capa dada, podemos encontrar el valor de$P$y$m$en el próximo caparazón a través del método de Euler : encontrar el cambio en estas variables multiplicando sus derivadas en un punto por algún tamaño de paso$\Delta r$. Esto es esencialmente lo que hizo Mark, creo. Simplemente estoy usando una ecuación de estado particular, en lugar de un módulo masivo.

Código

Escribí un código bastante simple en Python 3 para lograr esto. Solo requiere NumPy (así como Matplotlib para gráficos auxiliares).

import numpy as np

earthMass = 5.97*10**(24) # kg
earthRadius = 6.371*10**(6) # m
G = 6.67*10**(-11) # gravitational constant, SI units

def rho(P,rho0,c,n):
    """Polytropic equation of state"""
    rho = rho0 + c*(P**n)
    return rho

def fprime(P,c,n):
    """Derivative of the first order contribution
    to the polytropic equation of state"""
    fprime = c*n*(P**(n-1))
    return fprime

def mass(R,rho0,c,n):
    """Compute planetary mass for a particular radius,
    given equation of state parameters for a particular
    composition."""
    Rscaled = R*earthRadius # convert to SI units
    Pc = (2*np.pi/3)*G*(Rscaled**2)*(rho0**2) # central pressure
    rho_mean = rho(Pc,rho0,c,n) - (2*np.pi/5)*G*(Rscaled**2)*(rho0**2)*fprime(Pc,c,n) # mean density
    Mscaled = (4*np.pi/3)*(Rscaled**3)*rho_mean
    Mp = Mscaled/earthMass # convert to Earth masses
    return Mp

def pressure(R,rho0,c,n):
    """Compute central pressure if radius is known"""
    M = mass(R,rho0,c,n)
    M = M*earthMass # convert to SI units
    R = R*earthRadius # convert to SI units
    Pc = (3*G/(8*np.pi))*(M**2)/(R**4)
    return Pc

def minimumMass(P,rho0,c,n):
    """Compute mass at which a particular central
    pressure is reached"""
    radii = np.logspace(-1,1,1000) # reasonable radius range
    i = 0
    r = radii[i]
    while pressure(r,rho0,c,n) < P:
        # Brute force check of various radii
        i += 1
        r = radii[i]
    return(mass(r,rho0,c,n))

def radius(M,rho0,c,n):
    """Compute radius which yields a given mass"""
    radii = np.logspace(-1,1,1000)
    i = 0
    r = radii[i]
    while mass(r,rho0,c,n) < M:
        # Brute force check of various radii
        i += 1
        r = radii[i]
    return r

pressureList = [2,50] # central pressures to check, in GPa

for p in pressureList:
    print('Central pressure: '+str(p)+' GPa.')
    print('  The required mass is '\
          +str('%.3f'%minimumMass(p*10**9,1460,0.00311,0.513))+\
          ' Earth masses.')
    print('  The required radius is '+\
          str('%.3f'%radius(minimumMass(p*10**9,1460,0.00311,\
              0.513),1460,0.00311,0.513))+' Earth radii.')

Aquí está mi código de integración numérica. Está escrito específicamente para mundos acuáticos, por lo que la ecuación de los parámetros de estado no son argumentos de función. Si lo desea, puede generalizarse fácilmente para cualquier composición.

import numpy as np

earthMass = 5.97*10**(24) # kg
earthRadius = 6.371*10**(6) # m
G = 6.67*10**(-11) # gravitational constant, SI units

rho0 = 1460
c = 0.00311
n = 0.513

def dP(M,R,P,dR):
    """Compute change in pressure via hydrostatic
    equilibrium"""
    rho = rho0 + c*(P**n) # density
    dP = -((G*M*rho)/(R**2))*dR
    return dP

def dM(R,P,dR):
    """Compute change in mass via mass continuity
    equation"""
    rho = rho0 + c*(P**n) # density
    dM = 4*np.pi*(R**2)*rho*dR
    return dM

def integrator(Pc,dR):
    """Numerically integrate differential equations
    to construct the planet"""
    P = [Pc,Pc]
    M = [0,0]
    R = [0,dR]
    # To avoid singularities at r = 0, I really
    # start the code at one step, r = dR. I assume
    # that this step is small enough that the mass
    # and pressure don't change significantly.

    while P[-1] > 0:
        # The surface of the planet is where P = 0
        m = M[-1]
        r = R[-1]
        p = P[-1]
        deltaR = 1
        deltaP = dP(m,r,p,deltaR)
        deltaM = dM(r,p,deltaR)
        P.append(P[-1]+deltaP)
        M.append(M[-1]+deltaM)
        R.append(R[-1]+deltaR)

    return M, R, P

pressureList = [2,50] # central pressures to check, in GPa

for p in pressureList:
    massList, radiusList, pressureList = integrator(p*(10**9),1)
    M = massList[-1]/earthMass
    R = radiusList[-1]/earthRadius
    print('Central pressure: '+str(p)+' GPa.')
    print('  The required mass is '+str('%.3f'%M)+\
          ' Earth masses.')
    print('  The required radius is '+str('%.3f'%R)+\
          ' Earth radii.')

Resultados

Elegí una presión central de$P_c=2\text{ GPa}$para hielo VII y$P_c=50\text{ GPa}$para ice X, como lo hicieron Dubukay y Mark. Para ambos casos, mis resultados coincidieron con los de Mark dentro de un orden de magnitud; la discrepancia con los números de Dubukay aún permanece:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{} & \text{Ice VII} & \text{Ice X}\\ \hline \text{Dubukay} & M=8.327\times10^{-6}M_{\oplus} & M=0.0149M_{\oplus} \newline & R=0.0313R_{\oplus} & R=0.334R_{\oplus}\\ \hline \text{Mark} & M=0.0149M_{\oplus} & M=0.409M_{\oplus} \newline & R=0.401R_{\oplus} & R=0.998R_{\oplus}\\ \hline \text{Analytical} & M=0.0154M_{\oplus} & M=1.256M_{\oplus} \newline \text{models} & R=0.377R_{\oplus} & R=1.525R_{\oplus}\\ \hline \text{Numerical} & M=0.015M_{\oplus} & M=0.959M_{\oplus} \newline \text{integration} & R=0.372R_{\oplus} & R=1.389R_{\oplus}\\ \hline \end{array}$$

Mis dos modelos ice VII concuerdan muy de cerca con los de Mark, y mis modelos ice X solo se diferencian por un factor de unos pocos. La integración numérica no coincide con los modelos analíticos, lo que me preocupa un poco, pero la discrepancia no es demasiado grave, e investigaré un poco para ver si puedo encontrar el problema. Estoy lo suficientemente feliz de estar dentro de un orden de magnitud en astronomía, así que consideraré todo esto como una victoria. Aquí hay una gráfica de mis resultados analíticos, con los planetas terrestres del Sistema Solar para comparar, así como una curva de planetas de silicato ($\text{MgSiO}_3$):

¿Que esta pasando?

Esto arroja algo de luz sobre las diferentes respuestas porque una mirada más detallada a la teoría descarta las posibles razones de la discrepancia. Las ecuaciones de estado que utilicé son isotérmicas; las otras respuestas asumen lo mismo. De manera similar, gráficos simples de densidad dentro de estos planetas indican que la débil dependencia de la presión justifica la suposición de incompresibilidad de Dubukay. Ambos casos ven quizás un cambio del 10% en la densidad desde el núcleo interno hasta la superficie, apenas suficiente para causar una discrepancia de tres órdenes de magnitud. De hecho, a estas presiones, la mayoría de los mundos deberían ser bastante incompresibles.

Sospecho que el problema clave con la respuesta de Dubukay es la suposición de que la relación presión-profundidad no cambia en función de la profundidad, y probablemente lo haga. Al graficar la densidad dentro de cada planeta, podemos ver que cambia solo un poco para el planeta de hielo VII y un poco más para el planeta de hielo X:

Ahora, la aceleración gravitacional$g(r)$en un radio$r$escalas como$g\propto\bar{\rho}r$, dónde$\bar{\rho}$es la densidad media en el interior$r$. Las desviaciones de la densidad constante son pequeñas para la mayoría de las regiones del planeta, por lo que deberíamos esperar$g(r)$ser bastante lineal, y lo es (más cerca de lineal para el planeta de hielo VII, que tiene un perfil de densidad más uniforme):

Por lo tanto, la simple conversión de profundidad a presión es inexacta lejos de la superficie. También sospecho que el modelo núcleo-océano es demasiado simple.