¿Qué hace que el eje de rotación de GAIA tenga la precesión de la forma en que lo hace? ¿Cómo se logra esto exactamente?

Desde la perspectiva de un marco de referencia inercial, el cambio en el momento angular intrínseco de un objeto$\vec L$está relacionado con el par externo$\vec \tau$en ese objeto a través del equivalente rotacional de la segunda ley de Newton,$\dot{\vec L} = \vec \tau$. Para un cuerpo rígido,$\vec L=\mathbf I\,\vec\omega$. Diferenciar esto con respecto al tiempo da como resultado$\dot{\vec L} = \dot{\mathbf I}\,\vec\omega + \mathbf I\,\dot{\vec\omega}$. Esto es un poco feo.

Esto es feo porque a diferencia de la masa (que presumiblemente es constante), el tensor de inercia$\mathbf I$no es constante desde la perspectiva de un marco de referencia inercial. Sin embargo, el tensor de inercia de un cuerpo rígido de masa constante es constante desde la perspectiva de un marco que gira con el cuerpo rígido. Suponiendo un tensor de inercia constante desde la perspectiva de un marco que gira con el objeto y aplicando el teorema de transporte ($\dot{\vec X}_\text{inertial} = \dot{\vec X}_\text{rotating} + \vec \omega \times \vec X$), la derivada temporal del momento angular se convierte en

$$\dot{\vec L}_{\text{rotating}} = \mathbf I\,\dot{\vec \omega} = \vec \tau_\text{ext} - \vec \omega \times \vec L = \vec \tau_\text{ext} - \vec \omega \times (\mathbf I\,\vec\omega) = \vec \tau_\text{ext} + (\mathbf I\,\vec\omega)\times \vec \omega$$ Esto es útil porque$\dot{\vec\omega}$es el mismo vector (sin una rotación) en el marco inercial y el marco giratorio, una vez más gracias al teorema del transporte. La aplicación del teorema del transporte a la velocidad angular da como resultado$\dot{\vec \omega}_\text{inertial} = \dot{\vec \omega}_\text{rotating} + \vec \omega \times \vec \omega$. Desde$\vec \omega \times \vec \omega$es idénticamente cero, esto se simplifica a$\dot{\vec \omega}_\text{inertial} = \dot{\vec \omega}_\text{rotating}$.

Esto sigue siendo confuso porque, como escribió Herbert Goldstein en el texto muy utilizado sobre mecánica clásica, "de ahí la afirmación que suena jabberwockiana: el polhode rueda sin resbalar sobre el herpolhode que se encuentra en el plano invariable". El comportamiento de un cuerpo arbitrario puede ser bastante complejo. Afortunadamente, el comportamiento se vuelve mucho más simple para un objeto sin torque con simetría axial que gira alrededor de un eje que está cerca pero no es el mismo que el eje de simetría. El eje de rotación hace precesión, con$\mathbf I^{-1}((\mathbf I\,\vec \omega)\times \vec \omega)$que describe la tasa de precesión.

Los diseñadores de naves espaciales tienen un conjunto limitado de opciones con respecto al par de inercia.$(\mathbf I\,\vec \omega)\times \vec\omega$término:

• Pueden combatir el par de inercia con propulsores, pero esta no suele ser la mejor idea.
• Pueden hacer que la nave espacial gire lo menos posible con respecto al espacio de inercia, lo que hace que el par de inercia sea bastante pequeño.
• Pueden hacer que la nave espacial gire cerca de uno de los ejes principales de la nave espacial, una vez más, haciendo que el par de inercia sea bastante pequeño.
• Pueden intentar equilibrar los pares externos y el par de inercia para mantener muy pequeño el par total en el vehículo.
• Pueden aprovechar el par de inercia para hacer que la nave espacial avance a la velocidad deseada, con correcciones limitadas del sistema de control de actitud.

Los diseñadores de Gaia y su predecesor (Hipparcos) eligieron la opción final.

Precesión de objetos giratorios

Un objeto que gira puede preceder naturalmente, como en el caso del satélite GAIA, solo si sus principales momentos de inercia normales al eje de giro son iguales entre sí y diferentes del momento principal de inercia paralelo al eje de giro. Es decir, si el satélite gira alrededor de su eje Z (vector de velocidad angular en el marco de referencia del cuerpo del satélite$\vec{\omega} = [0, 0, \omega_z]^T$es paralelo al momento principal de inercia$I_z$), entonces debe ser que$I_x = I_y \neq I_z$. Esto es necesario para mantener el vector de velocidad angular bloqueado en el marco de referencia del cuerpo. La ecuación de la respuesta de David Hammen se puede dividir en tres componentes de ecuación separados para cada uno de los tres ejes:

$\dot{\omega}_x = \frac{\tau_{ext_x} - \omega_y\omega_z(I_z - I_y)}{I_x}$

$\dot{\omega}_y = \frac{\tau_{ext_y} - \omega_x\omega_z(I_x - I_z)}{I_y}$

$\dot{\omega}_z = \frac{\tau_{ext_z} - \omega_x\omega_y(I_y - I_x)}{I_z}$

Si fuera el caso de que$I_x = I_y = I_z$, entonces desaparecerían los términos del par de inercia y las ecuaciones se convertirían en:

$\dot{\omega}_x = \frac{\tau_{ext_x}}{I_x}$

$\dot{\omega}_y = \frac{\tau_{ext_y}}{I_y}$

$\dot{\omega}_z = \frac{\tau_{ext_z}}{I_z}$

En este caso, los componentes del vector de velocidad angular se pueden cambiar libre e independientemente aplicando pares. Un torque a un componente no cambiará la velocidad angular de otro componente. Además, tenga en cuenta que cualquier aplicación de torsión cambiará necesariamente el vector de velocidad angular en el marco de referencia del cuerpo. Todavía es posible forzar la precesión del objeto giratorio de este caso, a lo que volveremos después de examinar el$I_x = I_y \neq I_z$caso, donde la precesión ocurre naturalmente. Allí el par inercial desaparece solo para la componente Z, mientras que para las componentes X e Y podemos introducir una constante$k = \omega_z(I_z - I_y) = -\omega_z(I_x-I_z)$. Observe el signo menos, como el$I_z$se cambia de posición. Esto da las siguientes ecuaciones:

$\dot{\omega}_x = \frac{\tau_{ext_x} - \omega_y k}{I_x}$

$\dot{\omega}_y = \frac{\tau_{ext_y} + \omega_x k}{I_y}$

$\dot{\omega}_z = \frac{\tau_{ext_z}}{I_z}$

Ahora, si no hay giro alrededor del eje Z ($\omega_z = 0$), entonces es lo mismo que en el caso anterior, pero en cuanto hay algún giro ($\omega_z \neq 0$), los componentes X e Y se acoplan. Cuanto mayor sea el giro, más fuerte será el acoplamiento. Debido a que los signos antes de los términos del par de inercia son diferentes y la constante es la misma, los componentes actuarán uno contra el otro. Empezar con$\omega_x = 0$,$\omega_y = 0$y$\omega_z$es un valor positivo grande e introduce un par pequeño en el componente X. Esto producirá positivo$\omega_x$, que luego produce positivo$\omega_y$; un positivo$\omega_y$actuará para disminuir$\omega_x$. Con una velocidad de giro lo suficientemente alta y k grande, el par del componente X es dominado y$\omega_x$rápidamente pasa a negativo. Ahora, un negativo$\omega_x$actuará para disminuir$\omega_y$. Con k grande,$\omega_y$es pronto negativo, y un negativo$\omega_y$actúa para aumentar$\omega_x$. Esta es una explicación un poco vaga, la realidad involucra algunos infinitesimales y hace que el$\omega_x = 0$y$\omega_y = 0$un estado estable, pero con suerte debería proporcionar un poco de intuición. Esta estabilidad es solo con respecto al marco de referencia del cuerpo, todavía se puede cambiar el vector de velocidad angular libremente en los tres componentes en el marco de referencia inercial. De hecho, esto es lo que impulsa la precesión, el par aplicado y el trabajo que genera no desaparecen en el aire, cambia la orientación del vector de velocidad mientras que el eje de rotación del cuerpo permanece igual.

Para los curiosos, lo mismo se aplica si$I_x = I_y < I_z$o$I_x = I_y > I_z$sostiene Solo los signos en los componentes X e Y cambiarán de lugar.

De vuelta a$I_x = I_y = I_z$En este caso, para que preceda, el par de control tendría que imitar los términos del par de inercia con una fuerza que supera a los términos del par regular.

Y en aras de la exhaustividad, el caso$I_x \neq I_y \neq I_z$no tiene una precesión natural ya que los términos del par de inercia serán diferentes para los tres componentes y el componente Z no estaría desacoplado. Todavía se podría hacer una ley de control para forzar su precesión.

Otra cosa importante a considerar es cómo se puede controlar la precesión. ¿O cómo cambia el vector de velocidad angular en el marco de referencia inercial? No creo que cualquier cantidad de ecuaciones sea mejor que tener una ayuda visual para entender esto. Afortunadamente, hay una buena cantidad de videos en línea que intentan explicarlo. Aquí hay uno que elegí al azar y me pareció bastante bueno.

. Una cosa en la que me enfocaré en el video es que en el caso de precesión, el par cambia y precede junto con el vector de velocidad angular. El acto de precesión del objeto también se mueve donde actuará la fuerza, aunque la fuerza siempre está en la misma dirección. Esto, a su vez, genera el par normal tanto a la fuerza como al vector de velocidad angular. Aquí la realidad, nuevamente, necesita infinitesimales para producir un movimiento circular de la precesión. Siempre que el par sea constantemente normal al vector de velocidad angular, tendrá precesión sin cambiar la magnitud. No es necesario que sea circular, pero aquí eso se logra con la fuerza constante. Hasta ahora he estado evitando hablar de momento angular, ya que para el caso que aquí nos interesa siempre es paralelo al vector velocidad y solo su múltiplo escalar. Aún así, es importante tener en cuenta que el par aplicado para la precesión es limitado para que no modifique significativamente el momento angular en ningún momento. Esto está relacionado con el par de inercia que domina el par aplicado externamente de las ecuaciones de los componentes. Un par aplicado demasiado fuerte podría forzar el vector de velocidad angular fuera de su punto estable. Este también podría ser el caso de un giro relativamente lento alrededor del eje del cuerpo Z y entonces el par normal al vector de velocidad angular no sería suficiente para crear la precesión, pero el par también tendría que tener un componente a lo largo del vector de velocidad angular. Esto está relacionado con el par de inercia que domina el par aplicado externamente de las ecuaciones de los componentes. Un par aplicado demasiado fuerte podría forzar el vector de velocidad angular fuera de su punto estable. Este también podría ser el caso de un giro relativamente lento alrededor del eje del cuerpo Z y entonces el par normal al vector de velocidad angular no sería suficiente para crear la precesión, pero el par también tendría que tener un componente a lo largo del vector de velocidad angular. Esto está relacionado con el par de inercia que domina el par aplicado externamente de las ecuaciones de los componentes. Un par aplicado demasiado fuerte podría forzar el vector de velocidad angular fuera de su punto estable. Este también podría ser el caso de un giro relativamente lento alrededor del eje del cuerpo Z y entonces el par normal al vector de velocidad angular no sería suficiente para crear la precesión, pero el par también tendría que tener un componente a lo largo del vector de velocidad angular.

Caso del satélite GAIA

Estaba bastante intrigado cuando vi por primera vez esa imagen en su pregunta. El Sol y la presión de fotones de él serían perfectos para generar una precesión de forma natural sin la necesidad de un control de actitud activo (en el caso ideal, es decir, en realidad, por supuesto, aún sería necesario aplicar al menos pequeñas correcciones de actitud, especialmente con el nivel de 1 arcsec). de precisión). Pero la emoción disminuyó rápidamente al darse cuenta de que el par de torsión de la presión solar sería muy pequeño.

GAIA, mirando sus fotos, probablemente encaje en el caso de$I_x = I_y < I_z$. En https://www.researchgate.net/publication/258736355_Attitude_reconstruction_for_the_Gaia_spacecraft el$I_z = 4500 kgm^2$está provisto.

La velocidad angular de$\omega_z = 1 deg/min$Suena bastante lento, pero es 360 veces más grande que la tasa de precesión de$\omega_p = 4 deg/day$. Esto es algo optimista de que podemos tener una precesión natural. El momento angular es$L = I_z \omega_z = 1.018 kg m^2 s^{-1}$.

Una fórmula que conecta la velocidad angular, la tasa de precesión y un par cuando$\omega_z >> \omega_p$(se puede encontrar una derivación aquí https://courses.lumenlearning.com/suny-osuniversityphysics/chapter/11-3-precession-of-a-gyroscope/ ) es:

$\omega_p = \frac{\tau}{Lsin\theta}$

dónde$\theta$para el satélite GAIA es$45 deg$. Por lo tanto, el par requerido es$\tau = 1.999 m N m$. Un segundo de este par aplicado al satélite cambiaría su momento angular no más del 0,2%. Creo que esto significa que la precesión natural se puede lograr con un par normal tanto al vector de velocidad angular como al vector de dirección del Sol.

De https://www.researchgate.net/publication/257561746_Dynamical_attitude_model_for_Gaia podemos aprender que el par de presión solar (que también es la mayor fuente de par externo, por lo que no tenemos que preocuparnos por otras fuentes de par para este análisis) es$\tau_{sp} = 134 u N m$, casi 15 veces más débil de lo necesario. Esto significa que el satélite GAIA debe proporcionar constante y activamente un par de control.

Además, el artículo habla de cancelar el par de presión solar, por lo que probablemente ni siquiera sea el caso de que el satélite esté diseñado para aprovechar la fuente externa, sino que tiene que depender de su sistema de micropropulsión para cancelar primero el par externo y luego controlar el actitud. También es muy interesante que los efectos de los impactos de micrometeroides son bastante significativos, en relación con las tolerancias de error de actitud de la misión, para lo cual el sistema de actitud necesita hacer correcciones constantemente. Tuve la oportunidad, hace varios días, de asistir a una presentación donde se mostraron datos en vuelo de impactos de micrometeroides. En las parcelas también se notaba un fino tambaleo constante de actitud, ante impactos, que proviene de las correcciones de micropropulsión. Si entendí bien,