¿Qué es un fonón?

Leí que los fonones son (el análogo mecánico cuántico de) modos normales de vibración en un sistema cristalino de átomos o moléculas, así que supongo que una superposición, es decir, una vibración general también debería ser un fonón. ¿Es eso así? ¿Por qué entonces se describirían como modos normales?

La razón por la que los fonones se describen en términos de modos normales es porque el hamiltoniano de fonones se ve bien en esa base. En otras palabras, la base del modo normal diagonaliza el fonón hamiltoniano:

$$H = \sum\limits_{\mathbf{k}} \omega_{\mathbf{k}} a^{\dagger}_{\mathbf{k}} a_{\mathbf{k}},$$

donde el operador de la escalera bosónica $a^{\dagger}_{\mathbf{k}}$crea un fonón con vector de onda$\mathbf{k}$y frecuencia de oscilación$\omega_{\mathbf{k}}$. Estos son también el vector de onda y la frecuencia de oscilación del modo normal correspondiente.$^{\ast}$

Un estado general de un solo fonón es una superposición de modos normales y se escribiría

$$|\psi_1\rangle = \sum\limits_{\mathbf{k}} f(\mathbf{k}) \,a^{\dagger}_{\mathbf{k}}|0\rangle,$$ dónde $|0\rangle$es el estado fundamental vibratorio de la red. Un estado de dos fonones toma la forma $$|\psi_2\rangle = \sum\limits_{\mathbf{k},\mathbf{k}^{\prime}} f(\mathbf{k},\mathbf{k}^{\prime}) \,a^{\dagger}_{\mathbf{k}}a^{\dagger}_{\mathbf{k}^{\prime}}|0\rangle$$ etc. Las funciones $f$puede considerarse como una "función de onda" en el espacio de momento. Sin embargo, solo existe una analogía limitada con las funciones de onda familiares que describen, por ejemplo, un electrón unido a un núcleo atómico. Los fonones no son partículas conservadas, por lo que no es posible escribir un "Hamiltoniano de un solo fonón" que gobierne la dinámica de $f(\mathbf{k})$. Los fonones son excitaciones colectivas de un sistema de muchos cuerpos y deben tratarse dentro del formalismo cuántico de muchos cuerpos, en general.

¿Podríamos decir que un fonón es una partícula cuya función de onda de posición se extiende sobre todo el cristal?

Con respecto a la "función de onda" del espacio de posición, también se pueden definir los operadores de escalera del espacio de posición (suponiendo condiciones de contorno periódicas):

$$a^{\dagger}(\mathbf{x}) = \sum\limits_{\mathbf{k}} e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} a_{\mathbf{k}}^{\dagger}.$$ El estado $a^{\dagger}(\mathbf{x})|0\rangle$describe un único fonón creado en la posición $\mathbf{x}$. Por lo tanto, la "función de onda" del espacio de posición de un estado de un solo fonón está dada por $$\langle 0|a(\mathbf{x}) |\psi_1\rangle = \sum\limits_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} f(\mathbf{k}),$$ que es la transformada de Fourier de $f(\mathbf{k})$(hasta los factores de normalización que estoy ignorando). Así que tenemos una buena analogía con la regla familiar para transformar funciones de onda de cantidad de movimiento a espacio de posición. El módulo al cuadrado de esta "función de onda" da información sobre la forma en el espacio de posición del perfil de compresión y rarefacción en todo el cristal de una vibración longitudinal en promedio . Sin embargo, dado que esto es mecánica cuántica, la "función de onda" realmente significa la amplitud de probabilidad para encontrar un solo fonón en la posición $\mathbf{x}$. La forma de la onda solo se puede construir después de realizar muchas mediciones.

Para un estado de modo normal, encontrará que la "función de onda" es$\sim e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}$, que es una onda plana que, de hecho, está deslocalizada en todo el cristal. Sin embargo, un estado de fonón más realista que podría surgir, por ejemplo, si golpeo ligeramente el cristal en una determinada posición, sería una superposición de más de una frecuencia. Esto significa que$f(\mathbf{k})$tiene un ancho finito en el espacio de momento, por lo que la posición "función de onda" también tiene un ancho finito. Por supuesto, a medida que el estado del fonón evoluciona con el tiempo, este paquete de ondas se expandirá a medida que se mueve a través del cristal.

$^{\ast}$En general, también habría que considerar la polarización, pero supongamos, por simplicidad, que solo están presentes los modos longitudinales.

* EDITAR EN RESPUESTA AL COMENTARIO *

¿Diría usted que matemáticamente hay algunas analogías entre los fonones y las partículas ordinarias, pero que intuitivamente no piensa en los fonones como partículas?

Los fonones son cuasipartículas . Reducen una descripción en términos de grados de libertad que interactúan (iones de red) a una descripción más simple en términos de excitaciones colectivas que no interactúan (fonones). (Por supuesto, cuando se tienen en cuenta las interacciones electrón-fonón u otras no linealidades, los fonones dejan de ser partículas libres, pero la descripción es aún más simple). Intuitivamente pienso en los fonones como fotones, que son excitaciones colectivas de el campo electromagnético Los fonones son excitaciones colectivas del campo de desplazamiento de la red.

Hay dos distinciones clave entre los fonones y las partículas fundamentales como los electrones. En primer lugar, los fonones son una descripción efectiva que solo tiene sentido por encima de una cierta escala de longitud, el espaciado de la red. Si mira tan de cerca que puede resolver el movimiento microscópico de los iones individuales de la red, entonces la descripción en términos de fonones no tiene sentido. La otra distinción es que los fonones no tienen espacios (sin masa), lo que significa que puede crear uno con una cantidad de energía arbitrariamente pequeña. Solo se pueden crear nuevos electrones mediante procesos que involucren energías mayores que la masa en reposo del electrón. Estas energías son inaccesibles a las bajas temperaturas a las que se enfrentan los físicos de la materia condensada.

Sin embargo, tales energías son accesibles en física de alta energía, donde se debe reemplazar la descripción de electrones por funciones de onda a una descripción en términos de campos cuánticos. Luego, los electrones se ven como excitaciones colectivas del campo de Dirac, que existe en todos los puntos del espacio-tiempo. Entonces, en la teoría relativista cuántica de campos, la distinción entre partículas fundamentales y excitaciones colectivas se vuelve borrosa por el formalismo.

Sin embargo, se debe tener en cuenta que un electrón se considera una partícula fundamental en el modelo estándar, mientras que un fonón es en realidad una descripción simplificada del complicado movimiento cuantificado de una enorme cantidad de iones reticulares. Esto se debe a que sabemos que los fonones surgen de una estructura más fundamental, la red cristalina, que podemos observar directamente en los experimentos de difracción de rayos X. Por otro lado, ningún experimento hasta la fecha ha revelado una estructura más fundamental de la que emerge el campo de electrones. Sin embargo, la estrecha correspondencia matemática entre excitaciones colectivas en materia condensada de baja energía y partículas fundamentales en alta energía ha llevado a algunos eminentes físicos de la materia condensada (p. ej., Laughlin, Wen) para sugerir que los campos fundamentales del modelo estándar son descripciones realmente efectivas de baja energía (en comparación con la escala de Planck) de una estructura más fundamental del vacío cuántico. Esta estructura solo se haría evidente en escalas de longitud demasiado pequeñas para ser resueltas con la tecnología actual.

Cuando las cosas se vuelven confusas al tratar con conceptos cuánticos, creo que es mejor encontrar una pregunta experimental que le dé estructura a esa idea teórica. Los fonones son aún más complicados, ya que dependen de un cristal y de las oscilaciones de ese cristal.

Aquí, podemos ver una analogía con el efecto fotoeléctrico llamado efecto fonoatómico .

Este experimento involucra una película delgada de átomos de helio en la superficie de un cristal. Los fonones de una frecuencia suficientemente alta tendrán suficiente energía para expulsar un átomo de helio de la superficie, al igual que los fotones de una frecuencia suficientemente alta expulsarán electrones de la superficie de un metal.

Entonces, los fonones realmente parecen ser bastante análogos a los fotones. Incluso existe una versión fonónica de un láser .

Lo convertiste en un desafío al hacer tantas preguntas diferentes, pero dado que nadie más ha intentado responder, haré lo mejor que pueda. :)

Leí que los fonones son (el análogo mecánico cuántico de) modos normales de vibración en un sistema cristalino de átomos o moléculas, así que supongo que una superposición, es decir, una vibración general también debería ser un fonón. ¿Es eso así? ¿Por qué entonces se describirían como modos normales?

Un fonón representa una excitación a una frecuencia específica, por lo que una superposición de frecuencias se expresaría como una combinación lineal de estas excitaciones. Una vibración general ni siquiera necesita tener un número bien definido de fonones; podría ser una superposición de estados con diferentes números de fonones.

¿Podríamos decir que un fonón es una partícula cuya función de onda de posición se extiende sobre todo el cristal? ¿Son la frecuencia y el vector de onda de la mecánica cuántica los mismos que la frecuencia y el vector de onda de la oscilación clásica correspondiente (vibración en el cristal)?

Estoy menos seguro de esto, pero no creo que sea típico hablar sobre la función de onda de un fonón en el espacio. El fonón representa una excitación del sistema de muchas partículas, así que supongo que podría describirse mediante la función de onda de muchas partículas. Pero eso es una función de muchas coordenadas de posición, no de una sola coordenada.

¿En qué sentido es (como) una partícula? ¿En que siempre se observa o siempre interactúa en un lugar específico?

En la teoría cuántica de campos, una partícula es una excitación de un campo, descrita por operadores de creación y aniquilación. Un fonón es igualmente una excitación descrita por operadores de creación y aniquilación. Estos operadores obedecen a relaciones de conmutación, que nos dicen que el fonón es un bosón. Una vez más, no estoy seguro de que tenga sentido hablar de "la ubicación del fonón".

¿Qué es un fonón?

Diría que Mark ha respondido bastante bien. Dijo que los fonones surgen de una estructura más fundamental, la red cristalina, que podemos observar directamente en los experimentos de difracción de rayos X. Un fonón es una onda en esta red cristalina.

Leí que los fonones son (el análogo mecánico cuántico de) modos normales de vibración en un sistema cristalino de átomos o moléculas, así que supongo que una superposición, es decir, una vibración general también debería ser un fonón. ¿Es eso así?

Sí.

¿Por qué entonces se describirían como modos normales?

Porque el modo normal es la "frecuencia natural" de esta red cristalina. Cuando lo tocas, suena como una campana. Oyes una nota, la misma nota cada vez.

¿Podríamos decir que un fonón es una partícula cuya función de onda de posición se extiende sobre todo el cristal?

Sí. Pero si es un cristal muy grande, no lo harías.

¿Son la frecuencia y el vector de onda de la mecánica cuántica los mismos que la frecuencia y el vector de onda de la oscilación clásica correspondiente (vibración en el cristal)?

No, porque mientras que el fonón tiene una naturaleza ondulatoria como el fotón E=hf, el fonón es típicamente una onda longitudinal como una onda de sonido, mientras que el fotón es una onda transversal. Sin embargo, tenga en cuenta que los fonones pueden ser ondas transversales, consulte la sección de fonones acústicos y ópticos del artículo de Wikipedia.

¿En qué sentido es (como) una partícula?

Bueno, el fonón no se parece en nada a un electrón. El electrón también tiene una naturaleza ondulatoria, pero tiene una naturaleza de "espinor". El fonón se puede comparar con el fotón porque, en cierto sentido, un fotón es una onda en el espacio, y el espacio se puede comparar con un cristal. Ver por ejemplo La Constante Cosmológica para el Modelo del Espacio Cósmico del Vacío Cristalino . O la red de electrones y positrones de Menahem Simhony , el universo cristalino . Debo dejar en claro que el espacio definitivamente no es una red de electrones y positrones. Sin embargo, diría que vale la pena mirar la naturaleza del espacio. Como es el fotón .