¿Cuál es la forma (a lo largo del plano, no de arriba hacia abajo) de las órbitas estelares en las galaxias espirales planas?

Esta es una pregunta interesante y, por lo general, las preguntas interesantes no pueden responderse fácilmente con ningún conocimiento actual, pero esta puede responderse hasta cierto punto. Voy a repasar los conceptos básicos de la teoría orbital y describir cómo se pueden aplicar a las galaxias y en qué se diferencia de los sistemas keplerianos. Debe tener una comprensión razonable de la física newtoniana (después de que todas las órbitas se derivan precisamente de las leyes de Newton) y un sólido conocimiento de las matemáticas. Si no tiene estas cosas, salte al final de cada sección donde intentaré resumir los puntos importantes detrás de las matemáticas.

Una nota rápida sobre la notación matemática que usaré. Un punto sobre un símbolo indica una derivada temporal (p. ej.,$\dot{a}$) y los símbolos en negrita y sin cursiva son cantidades vectoriales (p. ej.,$\bf F$). Vamos a ir al grano.

La ecuación orbital del movimiento

Considere una masa$m$como alguna posición$\bf r$y moviéndose con un movimiento descrito por$\bf \dot{r}$. Esta masa experimenta una fuerza$\textbf{F}(r)$que es sólo una función de la distancia radial,$r$, desde el centro del sistema de coordenadas. El objetivo aquí es determinar la ecuación de movimiento que puede describir la órbita de la masa debido a esta fuerza. Esta ecuación se puede usar para resolver$r(\theta)$. Por la ley de Newton, la ecuación de movimiento se puede definir inicialmente como

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Tenga en cuenta que en este caso$r$es simplemente la componente radial de$\bf r$y$\theta$es el ángulo acimutal del cuerpo en un sistema de coordenadas esféricas. Te dejaré a ti determinar cómo descomponer la aceleración en los dos componentes anteriores, bajo el sistema de coordenadas apropiado. Intentemos eliminar nuestro$\theta$dependencia de modo que sólo tenemos una función de$r$. Esto se puede lograr usando la conservación del momento angular. El momento angular por unidad de masa está dado por$\ell = r^2\dot{\theta}$de modo que$\dot{\theta} = \ell/r^2$. Esto da

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

Esta es ahora una ecuación diferencial que nos permite resolver para$r(t)$, pero queremos$r(\theta)$así que tenemos que hacer alguna conversión. Vamos a volver a parametrizar definiendo$u \equiv 1/r$(la razón se aclarará en un momento) y determinando$\ddot{r}$en términos de$u$y$\theta$.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

Nótese la sustitución de$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$. Ahora diferencie de nuevo para determinar$\ddot{r}$.

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

Poniendo esto en nuestra expresión para la ecuación de movimiento y haciendo la transformación que$r=1/u$finalmente da

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

Escribiendo en una forma más conveniente finalmente llegamos a

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

Recuerda eso,$m$es la masa del cuerpo,$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$,$\ell$es el momento angular por unidad de masa,$\bf F$es una fuerza puramente radial que actúa sobre el cuerpo, y$r$y$\theta$son las posiciones de coordenadas radiales y acimutales de la masa.

Remate : El resultado final aquí es una ecuación general de movimiento para un cuerpo que orbita de acuerdo con alguna fuerza arbitraria. Esto podría ser gravedad, electromagnético, una fuerza de resorte o cualquier otra cosa que decidamos. Se deriva a propósito bajo suposiciones generales y no constrictivas y, con suerte, puede ver que se puede usar para comprender el movimiento orbital de una estrella que orbita en una galaxia de disco. El objetivo con esta ecuación debe ser conectar tu fuerza (sea lo que sea) y resolver para$u(\theta)$. A partir de ahí es fácil determinar$r(\theta)$.

Movimiento Kepleriano

Antes de comenzar a observar el movimiento orbital en una galaxia, veamos el movimiento Kepleriano estándar para que tengamos algo con lo que comparar. El movimiento kepleriano se deriva de asumir nuestra masa$m$está orbitando una sola masa puntual$M$y bajo la influencia de la simple gravedad. En ese caso, podemos escribir nuestra fuerza como$F(r) = kr^{-2}$y por lo tanto$F(1/u) = ku^2$, dónde$k\equiv GMm$es una constante, definida aquí por simplicidad matemática. Tenga en cuenta que$G$es la constante gravitacional. La ecuación orbital general, bajo esta fuerza, ahora se convierte en

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Esta es una ecuación diferencial estándar no homogénea de segundo orden con una función forzada constante. Si conoce su Diff EQ, debería conocer la solución casi de inmediato.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

En esta ecuación,$A$es una constante desconocida, y$\theta_0$representa el ángulo inicial de la órbita, que arbitrariamente podemos elegir que sea cero. Nuestro objetivo final es conseguir$r(\theta)$así que hagamos eso. Sin embargo, voy a hacer algunos pasos en uno y dejaré que usted resuelva las matemáticas intermedias. voy a llenar para$k = GMm$y defina el momento angular como$L = \ell\mu$dónde$\mu$es la masa reducida de nuestro sistema . También diré, sin prueba, que$e = A(m\ell^2/k)$dónde$e$es la excentricidad de la órbita.

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

Remate : hemos encontrado una ecuación final que representa el movimiento orbital de una masa bajo la influencia de la gravedad debido a una masa puntual.$M$. Si sabes mucho, verás que esta ecuación describe con precisión las secciones cónicas, dependiendo del valor de$e$. Si$e = 0$, obtienes un movimiento circular (ya que$r(\theta)$se convierte en una constante). Si$0 < e <1$, obtienes un movimiento elíptico,$e=1$es movimiento parabólico y$e > 1$es hiperbólico.

Como era de esperar, el movimiento kepleriano (es decir, que tiene una fuerza central tal que$F\propto r^{-2}$) resultó en cónicas, que es precisamente la primera ley de Kepler. La segunda y tercera leyes de Kepler se derivan más o menos de los mismos supuestos. Es lógico, entonces, que cualquier sistema donde$F \not \propto r^{-2}$no sigue ninguna de las leyes de Kepler. Las órbitas no son cónicas perfectas (p. ej., elipses, círculos, etc.), no barren áreas iguales en tiempos iguales y el estándar$P^2 \propto a^3$ciertamente no se aplica.

Movimiento orbital en una galaxia

Su pregunta describe correctamente la situación de las estrellas (o cualquier cosa realmente) que orbitan en una galaxia. Las estrellas no están orbitando masas centrales, como puntos. Están incrustados dentro de la materia oscura y bariónica que comprende la galaxia y están orbitando a través de ella. Es un concepto bien conocido en física que las distribuciones de masa esféricamente simétricas no tienen una atracción gravitacional neta sobre los objetos interiores a esa distribución, lo que significa que para las estrellas en una galaxia, la masa que afecta su órbita es la masa interior a su radio. ¡Si ese radio cambia, la masa cambia!

La fuerza central sobre nuestra estrella seguirá siendo la gravedad, pero la masa que actúa sobre ella será toda la masa interior hasta cierto radio, indicado por$M_r$. Podemos ver eso$F(r) = GM_r(r)m/r^2$. Si queremos determinar la fuerza que actúa sobre nuestra estrella (y, por lo tanto, la órbita exacta, a través de la ecuación diferencial anterior), primero debemos averiguar cuál es la masa interior de algún radio. Esto se puede lograr usando la ecuación de continuidad de masa .

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

Esencialmente, puede averiguar todo el interior de la masa para$r$integrando toda la densidad de masa en función de$r$. Aquí, por supuesto, necesitas una buena ecuación para$\rho(r)$. Un perfil de densidad simple, pero físicamente poco realista, es la esfera isotérmica singular (SIS), mientras que una ecuación más realista, pero matemáticamente compleja, podría ser el perfil NFW o el perfil Einasto .

Ahora he presentado todos los pasos que necesitas para descubrir el movimiento orbital en una galaxia, pero tengo que decir que no es bonito. Sin embargo, podemos ver parte del caso más simple, el del SIS.

Esfera isotérmica única

Para la esfera isotérmica singular, tienes que$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$, dónde$v$es la velocidad de rotación de su estrella. Este perfil se basa en un hecho crucial de las galaxias de disco.$-$¡su perfil de rotación es plano! Esto fue bien establecido, por ejemplo, por Ruben et al. 1978 . He reproducido una figura de este documento a continuación que muestra la curva de rotación de varias galaxias. El punto importante aquí es que esto muestra$v$es constante y no depende del radio! (Suponiendo que no estemos cerca del bulto o centro galáctico. Esa es una bestia completamente diferente).

Con esta pieza crucial de información, podemos resolver para$M_r$integrando$\rho(r)$(que te dejo a ti). el resultado es que

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Esto significa que su fuerza está dada por

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

Puedes ver aquí que a diferencia del caso Kepleriano, nuestra fuerza es proporcional a$r^{-1}$en vez de$r^{-2}$. Puede realizar este proceso con otros perfiles de densidad (como NFW o Einasto I mencionados anteriormente), pero obtendrá el mismo resultado.

Si está tan inclinado, puede optar por conectar esto a la ecuación de movimiento orbital anterior y resolverlo, pero ahora está trabajando con una ecuación diferencial no lineal y las cosas pueden complicarse rápidamente.

Punchline : no estoy seguro de si esto realmente responde a su pregunta o no. Te he conducido parcialmente por la madriguera del conejo, pero espero que puedas apreciar lo complejo que se vuelve rápidamente. Todo el trabajo anterior estaba utilizando amplias suposiciones y simplificaciones. Supongo que la respuesta corta a todo esto es que las estrellas orbitan galaxias en una órbita compleja pero cerrada que no se describe fácilmente con precisión (incluso para nuestra propia galaxia) a través de ecuaciones calculables. Podemos aproximarnos y hacer nuestro mejor esfuerzo para trabajar con las matemáticas, pero al final es una aproximación. Sin embargo, en las aproximaciones más crudas, también puede considerar que una órbita como nuestra estrella es circular y terminar con eso.