Resistencia efectiva a través de 2 vértices adyacentes de un dodecaedro con cada borde rrr

¿Cuál será la resistencia efectiva a través de 2 vértices adyacentes de un dodecaedro regular (12 caras) con cada borde con resistencia r ?

Aquí está la fuente del problema, es el problema 20. en la hoja.

En el enlace se resuelve un problema típico usando simetría (retícula cuadrada infinita, resistencia entre vértices adyacentes) y luego se plantea

Parece que tal técnica de simetrización también se puede aplicar a redes finitas.

Estoy buscando algunas ideas sobre cómo aplicar esta técnica a un dodecaedro. De manera más general, estoy buscando ejemplos en los que tales técnicas de simetrización puedan usarse para redes finitas.

Dodecaedro

Ciertamente puede cortarlo por la mitad e identificar nodos con el mismo potencial. Los bordes entre esos nodos se pueden cortar para simplificar aún más. Alternativamente, puede aplicarle una transformación de malla en estrella, que debería conducir al dual geométrico y que puede tener menos nodos (20 a 12 ... ¿tal vez me estoy perdiendo algo)?
@CuriousOne Entiendo tu idea, pero ¿no será demasiado agitado para un dodecaedro? Después de todo, 12 nodos no son menos.

Respuestas (1)

Para que el problema sea simétrico, considera esto: ¿Qué sucede cuando tomas el dodecaedro y conduces la corriente? I en él desde el vértice A y maneja I / 20 desde todos los vértices (incluyendo A )? Por las leyes y la simetría de Kirchhoff, existe una corriente

I A − o tu t = ( I − I / 20 ) 3 = 19 60 I

ir desde A a los vértices vecinos.

Ahora supongamos B es vecino de A y hacemos lo mismo para B , pero con corriente − I (así que la corriente está fluyendo hacia B de vértices cercanos). Nuevamente encontramos que hay una corriente

I B − i norte = 19 60 I

fluyendo hacia B . Ahora superponemos estas soluciones: obtenemos una solución, donde hay corriente I entrar en A y todo sale de B . También fíjate que ± I / 20 saliendo de cada vértice también se ha desvanecido. Sin embargo, el borde que conecta A y B tiene corriente

I ′ = I A − o tu t + I B − i norte = 19 30 I

Entonces el voltaje entre A y B es tu = I ′ r , de este modo

tu / I ′ = 19 30 r

(Cuál es la respuesta correcta).

Decidí resolver este problema en lugar de simplemente dar ideas, porque la solución usó algunas ideas de problemas anteriores en la hoja, por lo que probablemente sea más útil para otros usuarios de esta manera.

Me encanta este enfoque. ¿Cómo se generalizaría a dos nodos cualquiera (por ejemplo, si los dos nodos no fueran adyacentes?)
@Floris: con dodecaedro, es posible hacerlo con dos nodos cualquiera, porque es posible encontrar la corriente (cuando toda la corriente proviene de A ) en cualquier borde usando solo simetría. Más tarde se puede encontrar el voltaje entre A y B mediante la adición de varios voltajes en las resistencias. Sin embargo, tenga en cuenta que en una red infinita, esto no es tan simple (o incluso posible) porque la corriente no se distribuye uniformemente entre los nodos más alejados.
Esto es muy elegante, pero ¿en qué parte de todo esto estamos usando el hecho de que es un dodecaedro y no alguna otra topología de circuito con el mismo número de vértices? ¿Dónde está la información contenida de que todas las ramas tienen la misma resistencia?
"Ahora superponemos estas soluciones" , ¿qué significa exactamente "superponer"? (Debe haber algunas condiciones adicionales: consulte el comentario de @CuriousOne o la pregunta de por qué no puede asignar diferentes corrientes a diferentes vértices para que se cancelen en todas partes).
@CuriousOne: Bueno, esencialmente prueba que cada circuito con 20 nodos, de modo que 3 bordes están conectados a cada nodo y cada nodo es simétrico a cualquier otro nodo (porque si ese no fuera el caso, mi suposición de distribución uniforme de corrientes podría convertirse en falso) tiene una resistencia efectiva de 19 30 r . Sospecho que este podría ser el único circuito que coincidiría con estas restricciones. Sin embargo, si hay otros, prueba que todos estos circuitos tienen la misma resistencia.
@CuriousOne Y puedo usar simetría porque todas las resistencias son iguales.
@NorbertSchuch El comentario a CuriousOne debería responder la mayor parte de su pregunta. Dar diferentes corrientes a diferentes nodos no es una buena idea, porque me aseguro de que inicialmente toda la corriente se distribuya uniformemente desde A simplemente usando el hecho de que la situación es simétrica con respecto a las 3 direcciones en las que puede ir la corriente. Para que la prueba funcione, estas corrientes tienen que ser simétricas también con respecto a B . Con mucho, la forma más simple (y posiblemente la única) es tomar una I / 20 de cada nodo.
@kristjan No es que no me guste el argumento, simplemente no veo cómo uno podría poner esto en ecuaciones (lo que me hace sospechar). Si supone que parte de la corriente sale de cada vértice, debe aplicar un potencial allí. ¿Qué pasa si el potencial de A y B es diferente? ¿Qué significa superponer en ese caso?
@NorbertSchuch Supongamos que el estado inicial (con 19 I / 20 entrar en A ) puede lograrse con potenciales ϕ , ϕ + ϕ 2 , ϕ + ϕ 3 , ϕ + ϕ 4 , ... aplicado a los nodos 1, 2, ... Aquí ϕ se puede variar libremente. Lo mismo para el segundo estado ( 19 I / 20 saliendo del circuito de B ) se logra con algunos otros potenciales ϕ ′ , ϕ ′ + ϕ 2 ′ , ... Superponerlos significa sumar los potenciales correspondientes. Entonces tu = tu A B = ϕ + ϕ B + ϕ ′ + ϕ B ′ − ϕ − ϕ A − ϕ ′ − ϕ A ′ = ϕ B + ϕ B ′ − ϕ A − ϕ A ′ (independiente de ϕ y ϕ ′ ).
@kristjan: Todavía no estoy convencido. Como puede ver en sus comentarios agregados, su prueba omite demasiado. Quizás tú puedas "ver" esto, yo no. Es cierto que eso puede deberse a mis limitaciones.
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