Cómo utilizar la respuesta escalonada medida para ajustar el sistema de control

Introducción

Primero, debemos considerar qué es exactamente esto llamado respuesta de impulso de un sistema y qué significa. Este es un concepto abstracto que requiere pensar un poco para visualizarlo. No voy a entrar en matemáticas rigurosas. Mi punto es tratar de dar cierta intuición de qué es esta cosa, que luego te lleva a cómo puedes usarla.

Ejemplo de problema de control

Imagina que tienes una gran resistencia de potencia con un sensor de temperatura montado en ella. Todo empieza fuera ya temperatura ambiente. Cuando enciende la alimentación, sabe que la temperatura en el sensor eventualmente aumentará y se estabilizará, pero la ecuación exacta sería muy difícil de predecir. Digamos que el sistema tiene una constante de tiempo de alrededor de 1 minuto, aunque la "constante de tiempo" no es del todo aplicable ya que la temperatura no aumenta de forma exponencial como lo haría en un sistema con un solo polo y, por lo tanto, una sola constante de tiempo. . Supongamos que desea controlar la temperatura con precisión y hacer que cambie a un nuevo nivel y permanezca allí de manera constante mucho más rápido de lo que sucedería si simplemente lo encendiera al nivel de potencia adecuado y esperara.

Básicamente, tienes un problema con el sistema de control. La respuesta de lazo abierto es razonablemente repetible y en alguna parte hay una ecuación que la modela lo suficientemente bien, pero el problema es que hay demasiadas incógnitas para derivar esa ecuación.

Control PID

Una forma clásica de resolver esto es con un controlador PID. En el pleistoceno, cuando esto tenía que hacerse en la electrónica analógica, la gente se volvió inteligente y ideó un esquema que funcionaba bien con las capacidades analógicas disponibles. Ese esquema se llamó "PID", por Proporcional , Integral y Derivativo .

P término

Empiezas midiendo el error. Esta es solo la respuesta medida del sistema (la temperatura reportada por el sensor en nuestro caso) menos la entrada de control (la configuración de temperatura deseada). Por lo general, estos podrían organizarse para estar disponibles como señales de voltaje, por lo que encontrar el error fue solo una diferencia analógica, lo cual es bastante fácil. Podrías pensar que esto es fácil. Todo lo que tiene que hacer es impulsar la resistencia con mayor potencia cuanto mayor sea el error. Eso intentará automáticamente calentarlo más cuando hace demasiado frío y más frío cuando hace demasiado calor. Eso funciona, más o menos. Tenga en cuenta que este esquema necesita algún error para causar cualquier salida de control distinta de cero (potencia que impulsa la resistencia). De hecho, significa que cuanto mayor sea la potencia necesaria, mayor será el error, ya que esa es la única forma de obtener la potencia alta. Ahora podría decir que todo lo que tiene que hacer es aumentar la ganancia para que el error sea aceptable incluso con una potencia alta. Después de todo, esa es básicamente la base de cómo se usan los amplificadores operacionales en muchos circuitos. Tienes razón, pero el mundo real normalmente no te dejará salirte con la tuya. Esto puede funcionar para algunos sistemas de control simples, pero cuando hay todo tipo de arrugas sutiles en la respuesta y cuando puede llevar mucho tiempo, terminas con algo que oscila cuando la ganancia es demasiado alta. Dicho de otra manera, el sistema se vuelve inestable. pero cuando hay todo tipo de arrugas sutiles en la respuesta y cuando puede tomar un tiempo significativo, terminas con algo que oscila cuando la ganancia es demasiado alta. Dicho de otra manera, el sistema se vuelve inestable. pero cuando hay todo tipo de arrugas sutiles en la respuesta y cuando puede tomar un tiempo significativo, terminas con algo que oscila cuando la ganancia es demasiado alta. Dicho de otra manera, el sistema se vuelve inestable.

Lo que describí anteriormente fue la parte P (proporcional) de PID. Al igual que puede hacer que la salida sea proporcional a la señal de error, también puede agregar términos proporcionales a la derivada temporal y la integral del error. Cada una de estas señales P, I y D tiene su propia ganancia separada antes de sumarse para producir la señal de salida de control.

termino

El término I permite que el error se anule con el tiempo. Siempre que haya un error positivo, el término I seguirá acumulándose, elevando finalmente la salida de control hasta el punto en que el error general desaparezca. En nuestro ejemplo, si la temperatura es constantemente baja, aumentará constantemente la potencia en la resistencia hasta que la temperatura de salida finalmente deje de ser baja. Con suerte, puede ver que esto puede volverse inestable incluso más rápido de lo que puede hacerlo un término P alto. El término AI por sí mismo puede causar fácilmente sobreimpulsos, que se convierten fácilmente en oscilaciones.

Término

El término D a veces se omite. El uso básico del término D es agregar un poco de estabilidad para que los términos P e I puedan ser más agresivos. El término D básicamente dice que si ya me estoy dirigiendo en la dirección correcta, deja un poco el acelerador ya que lo que tengo ahora parece estar llevándonos allí .

Ajuste de PID

Los conceptos básicos del control PID son bastante simples, pero obtener los términos P, I y D correctamente no lo es. Esto generalmente se hace con mucha experimentación y ajustes. El objetivo final es conseguir un sistema general en el que la salida responda lo más rápido posible, pero sin un sobreimpulso o un timbre excesivos y, por supuesto, debe ser estable (no comenzar a oscilar por sí solo). Se han escrito muchos libros sobre el control PID, cómo agregar pequeñas arrugas a las ecuaciones, pero particularmente cómo "afinarlas". Tuning se refiere a adivinar las ganancias óptimas de P, I y D.

Los sistemas de control PID funcionan, y ciertamente hay muchos conocimientos y trucos para que funcionen bien. Sin embargo, el control PID no es la única respuesta correcta para un sistema de control. La gente parece haber olvidado por qué se eligió PID en primer lugar, que tenía más que ver con las restricciones de la electrónica analógica que con ser una especie de esquema de control óptimo universal. Desafortunadamente, demasiados ingenieros hoy en día equiparan el "sistema de control" con PID, que no es más que una reacción instintiva de pensamiento pequeño. Eso no hace que el control PID sea incorrecto en el mundo actual, sino solo una de las muchas formas de atacar un problema de control.

Más allá del PID

Hoy en día, un sistema de control de bucle cerrado para algo como el ejemplo de temperatura se haría en un microcontrolador. Estos pueden hacer muchas más cosas que simplemente tomar la derivada y la integral de un valor de error. En un procesador puede hacer divisiones, raíces cuadradas, mantener un historial de valores recientes y mucho más. Son posibles muchos esquemas de control además del PID.

Respuesta impulsiva

Así que olvídese de las limitaciones de la electrónica analógica y dé un paso atrás y piense cómo podríamos controlar un sistema volviendo a los primeros principios. ¿Qué pasaría si por cada pequeña pieza de salida de control supiéramos lo que haría el sistema? La salida de control continuo es entonces solo la suma de muchas piezas pequeñas. Como sabemos cuál es el resultado de cada pieza, podemos saber cuál es el resultado de cualquier historial previo de salidas de control. Ahora observe que "una pequeña parte" de la salida de control encaja muy bien con el control digital. Va a calcular cuál debería ser la salida de control y configurarla, luego regresar y medir las entradas nuevamente, calcular la nueva salida de control a partir de ellas y configurarla nuevamente, etc. Está ejecutando el algoritmo de control en un bucle, y mide las entradas y establece la salida de control de nuevo en cada iteración del bucle. Las entradas se "muestrean" en momentos discretos, y la salida también se establece en nuevos valores en un intervalo fijo. Siempre que pueda hacer esto lo suficientemente rápido, puede pensar que esto sucede en un proceso continuo. En el caso de un calentamiento de resistencia que normalmente tarda unos minutos en estabilizarse, ciertamente varias veces por segundo es mucho más rápido de lo que el sistema responde inherentemente de una manera significativa que actualizar la salida a, digamos, 4 Hz parecerá continuo para el sistema. Esto es exactamente lo mismo que la música grabada digitalmente, cambiando el valor de salida en pasos discretos en el rango de 40-50 kHz y siendo tan rápido que nuestros oídos no pueden escucharlo y suena continuo como el original. puedes pensar que esto sucede en un proceso continuo. En el caso de un calentamiento de resistencia que normalmente tarda unos minutos en estabilizarse, ciertamente varias veces por segundo es mucho más rápido de lo que el sistema responde inherentemente de una manera significativa que actualizar la salida a, digamos, 4 Hz parecerá continuo para el sistema. Esto es exactamente lo mismo que la música grabada digitalmente, cambiando el valor de salida en pasos discretos en el rango de 40-50 kHz y siendo tan rápido que nuestros oídos no pueden escucharlo y suena continuo como el original. puedes pensar que esto sucede en un proceso continuo. En el caso de un calentamiento de resistencia que normalmente tarda unos minutos en estabilizarse, ciertamente varias veces por segundo es mucho más rápido de lo que el sistema responde inherentemente de una manera significativa que actualizar la salida a, digamos, 4 Hz parecerá continuo para el sistema. Esto es exactamente lo mismo que la música grabada digitalmente, cambiando el valor de salida en pasos discretos en el rango de 40-50 kHz y siendo tan rápido que nuestros oídos no pueden escucharlo y suena continuo como el original.

Entonces, ¿qué podríamos hacer si tuviéramos esta forma mágica de saber qué hará el sistema con el tiempo debido a cualquier muestra de salida de control? Dado que la respuesta de control real es solo una secuencia de muestras, podemos sumar la respuesta de todas las muestras y saber cuál será la respuesta del sistema resultante. En otras palabras, podemos predecir la respuesta del sistema para cualquier forma de onda de respuesta de control arbitraria.

Eso está bien, pero simplemente predecir la respuesta del sistema no resuelve el problema. Sin embargo, y aquí está el momento, puede darle la vuelta a esto y encontrar la salida de control que se habría necesitado para obtener la respuesta deseada del sistema. Tenga en cuenta que está resolviendo exactamente el problema de control, pero solo si podemos conocer de alguna manera la respuesta del sistema a una sola muestra de salida de control arbitraria.

Así que probablemente estés pensando, eso es fácil, solo dale un gran pulso y mira lo que hace. Sí, eso funcionaría en teoría, pero en la práctica no suele ser así. Esto se debe a que cualquier muestra de control, incluso una grande, es tan pequeña en el esquema general de las cosas que el sistema apenas tiene una respuesta medible. Y recuerde, cada muestra de control tiene que ser pequeña en el esquema de las cosas para que la secuencia de muestras de control se sienta continua en el sistema. Así que no es que esta idea no funcione, sino que en la práctica la respuesta del sistema es tan pequeña que queda enterrada en el ruido de la medición. En el ejemplo de la resistencia, golpear la resistencia con 100 W durante 100 ms no provocará un cambio de temperatura suficiente para medir.

Respuesta de paso

Pero, todavía hay una manera. Si bien poner una sola muestra de control en el sistema nos habría dado su respuesta a las muestras individuales directamente, todavía podemos inferirlo poniendo una secuencia conocida y controlada de respuestas de control en el sistema y midiendo su respuesta a ellas. Por lo general, esto se hace poniendo un paso de control. Lo que realmente queremos es la respuesta a un pequeño parpadeo, pero la respuesta a un solo paso es solo la integral de eso. En el ejemplo de la resistencia, podemos asegurarnos de que todo esté en estado estable a 0 W, luego encender repentinamente y poner 10 W en la resistencia. Eventualmente, eso causará un cambio de temperatura bien medible en la salida. La derivada de eso con la escala correcta nos dice la respuesta a una muestra de control individual, aunque no podamos medir eso directamente.

Entonces, para resumir, podemos poner una entrada de control de paso en un sistema desconocido y medir la salida resultante. Eso se llama la respuesta escalonada . Luego tomamos la derivada temporal de eso, que se llama respuesta al impulso . La salida del sistema que resulta de cualquier muestra de entrada de control es simplemente la respuesta de impulso escalada apropiadamente a la fuerza de esa muestra de control. La respuesta del sistema a un historial completo de muestras de control es un montón de respuestas de impulso sumadas, escaladas y sesgadas en el tiempo para cada entrada de control. Esa última operación aparece mucho y tiene el nombre especial de convolución .

Control de convolución

Entonces, ahora debería poder imaginar que para cualquier conjunto deseado de salidas del sistema, puede crear la secuencia de entradas de control para causar esa salida. Sin embargo, hay un problema. Si se vuelve demasiado agresivo con lo que quiere del sistema, las entradas de control para lograrlo requerirán valores altos y bajos inalcanzables. Básicamente, cuanto más rápido espera que responda el sistema, mayores deben ser los valores de control, en ambas direcciones. En el ejemplo de la resistencia, puede decir matemáticamente que desea que pase inmediatamente a una nueva temperatura, pero eso requeriría una señal de control infinita para lograrlo. Cuanto más lento permita que la temperatura cambie al nuevo valor, menor será la potencia máxima que necesita para poder volcar en la resistencia. Otro problema es que la potencia en la resistencia a veces también tendrá que bajar. Usted puede'

Una forma de lidiar con esto es que el sistema de control filtre la entrada de control del usuario antes de usarla internamente. Figura que los usuarios hacen lo que los usuarios quieren hacer. Déjelos cerrar de golpe la entrada rápidamente. Internamente, tiene un filtro de paso bajo que lo suaviza y lo ralentiza al más rápido que sabe que puede darse cuenta de la potencia máxima y mínima que puede poner en la resistencia.

ejemplo del mundo real

Aquí hay un ejemplo parcial usando datos del mundo real. Se trata de un sistema integrado en un producto real que, entre otras cosas, tiene que controlar un par de docenas de calentadores para mantener varios depósitos de productos químicos a temperaturas específicas. En este caso, el cliente optó por hacer un control PID (es con lo que se sintió cómodo), pero el sistema en sí todavía existe y se puede medir. Aquí están los datos sin procesar de la conducción de uno de los calentadores con una entrada de paso. El tiempo de iteración del bucle fue de 500 ms, que es claramente un tiempo muy corto si se tiene en cuenta que el sistema aún se está asentando visiblemente en este gráfico de escala después de 2 horas.

En este caso, puede ver que el calentador se condujo con un paso de aproximadamente 0,35 de tamaño (el valor "Fuera"). Poner un paso completo de 1.0 durante mucho tiempo habría resultado en una temperatura demasiado alta. El desplazamiento inicial se puede eliminar y el resultado se puede escalar para tener en cuenta el pequeño paso de entrada para inferir la respuesta del paso unitario:

De esto, pensaría que sería simplemente restar valores de respuesta de paso sucesivos para obtener la respuesta de impulso. Eso es correcto en teoría, pero en la práctica obtienes principalmente el ruido de medición y cuantificación ya que el sistema cambia muy poco en 500 ms:

Tenga en cuenta también la pequeña escala de los valores. La respuesta al impulso se muestra a escala de 10 ⁶ .

Claramente, las grandes variaciones entre lecturas individuales o incluso algunas son solo ruido, por lo que podemos filtrar esto con un filtro de paso bajo para deshacernos de las frecuencias altas (el ruido aleatorio), lo que con suerte nos permite ver la respuesta subyacente más lenta. Aquí hay un intento:

Eso es mejor y muestra que realmente se pueden obtener datos significativos, pero todavía hay demasiado ruido. Aquí hay un resultado más útil obtenido con más filtrado de paso bajo de los datos de impulso sin procesar:

Ahora bien, esto es algo con lo que realmente podemos trabajar. El ruido restante es pequeño en comparación con la señal general, por lo que no debería interferir. La señal parece estar todavía allí prácticamente intacta. Una forma de ver esto es notar que el pico de 240 es correcto a partir de una revisión visual rápida y un filtrado ocular de la trama anterior.

Así que ahora deténgase y piense en lo que realmente significa esta respuesta de impulso. Primero, tenga en cuenta que se muestra multiplicado por 1M, por lo que el pico es realmente 0,000240 de escala completa. Esto significa que, en teoría, si el sistema fuera accionado con un solo pulso de escala completa solo durante uno de los intervalos de tiempo de 500 ms, esta sería la temperatura resultante en relación con si se hubiera dejado solo. La contribución de cualquier período de 500 ms es muy pequeña, como tiene sentido intuitivamente. Esta es también la razón por la que medir la respuesta de impulso directamente no funciona, ya que 0,000240 de la escala completa (alrededor de 1 parte en 4000) está por debajo de nuestro nivel de ruido.

Ahora puede calcular fácilmente la respuesta del sistema para cualquier señal de entrada de control. Para cada muestra de salida de control de 500 ms, agregue una de estas respuestas de impulso escaladas según el tamaño de esa muestra de control. El tiempo 0 de esa contribución de respuesta de impulso a la señal de salida del sistema final es en el momento de su muestra de control. Por lo tanto, la señal de salida del sistema es una sucesión de estas respuestas de impulso compensadas por 500 ms entre sí, cada una escalada al nivel de muestra de control en ese momento.

La respuesta del sistema es la convolución de la entrada de control con esta respuesta de impulso, calculada cada muestra de control, que es cada 500 ms en este ejemplo. Para hacer un sistema de control a partir de esto, trabaje hacia atrás para determinar la entrada de control que da como resultado la salida deseada del sistema.

Esta respuesta de impulso sigue siendo bastante útil incluso si desea hacer un controlador PID clásico. Ajustar un controlador PID requiere mucha experimentación. Cada iteración tomaría una o dos horas en el sistema real, lo que haría que el ajuste iterativo fuera muy lento. Con la respuesta de impulso, puede simular la respuesta del sistema en una computadora en una fracción de segundo. Ahora puede probar nuevos valores de PID tan rápido como pueda cambiarlos y no tener que esperar una hora o dos para que el sistema real le muestre su respuesta. Por supuesto, los valores finales siempre deben verificarse en el sistema real, pero la mayor parte del trabajo se puede realizar con simulación en una fracción del tiempo. Esto es lo que quise decir con "Puede usar esto como una base de simulación para encontrar los parámetros para el control PID antiguo" en el pasaje que citó en su pregunta.

Los filtros FIR e IIR, como mencionó Jon, son filtros digitales que implementan directamente la convolución de la respuesta de impulso, como dice el nombre (Finite\Infinite Impulse Response).

Convolucionar la respuesta de impulso a una señal (en el dominio del tiempo) es exactamente lo mismo que multiplicar la función de transferencia por la transformada de la señal (en el dominio de la frecuencia); y, básicamente, consiste en multiplicar la respuesta de impulso del filtro a la versión traducida de la señal (piense en el hecho de que la respuesta del filtro es fija en el tiempo, mientras que la señal varía continuamente en el tiempo).

En los filtros digitales, la respuesta al impulso se reduce a un número fijo de coeficientes que multiplican la señal en un punto determinado; los puntos se separan por retardos, obteniendo que un ₀ multiplica el valor instantáneo de la señal, mientras que un _k multiplica la misma señal tras k unidades de retardo.

La figura muestra la respuesta al impulso de un filtro genérico (paso bajo en este caso) donde se obtienen los coeficientes para un filtro FIR de 13 taps (el número de retardos).

Para obtener algunas funciones de transferencia, un filtro FIR requeriría un número infinito de coeficientes: en estos casos, se utiliza una retroalimentación para obtener filtros IIR (Infinite Impulse Response). Estos filtros permiten obtener mejores funciones de transferencia (por ejemplo, una transición más estrecha entre la banda de paso y la banda suprimida en los filtros) pero pueden generar inestabilidad, mientras que los filtros FIR son estables por construcción.

Este tipo de filtros se puede diseñar con circuitos analógicos, pero requiere amplificadores precisos ajustados a los coeficientes y circuitos de retardo precisos, y tiene un gran aumento en el hardware al aumentar el número de derivaciones. Con mayor frecuencia, estos filtros se implementan en DSP, donde las operaciones se ejecutan en señales digitales de una manera mucho más fácil.

Entonces, para responder directamente a su pregunta : la sintonización de los filtros digitales se realiza simplemente configurando los coeficientes para la respuesta de impulso discretizada.

Actualizar

OP preguntó sobre la respuesta al paso y al impulso; bueno, como dijeron Olin y Jon, la respuesta al impulso es la derivada de la respuesta al escalón, y obviamente la respuesta al escalón es la integral de la respuesta al impulso.

La respuesta escalonada se usa ampliamente en los sistemas de control porque muestra las cosas más importantes sobre ellos: qué tan rápido responden a cambios rápidos en la entrada y si son estables y capaces de minimizar el error con el tiempo.

Pero la respuesta al impulso es muy importante porque se puede usar para calcular lo que la señal de entrada en un instante determinado provocará en la salida, por lo que luego se puede obtener la señal de salida completa apilando el resultado de la respuesta al impulso multiplicado a la señal de entrada: esto es la convolución, y es donde sucede la magia. Sí, porque la respuesta al impulso no es más que la antitransformada de Fourier de la función de transferencia del regulador.

Este es el poder de los filtros digitales: implementan directamente la respuesta de impulso y, ya sea que queramos reproducir una respuesta de paso (en el caso de un sistema de control) o una función de transferencia (en el caso de un filtro), solo tenemos que derivar la respuesta al impulso y extraer los coeficientes para el FIR.

La convolución suele ser un filtro FIR, no un IIR como el que se obtiene con polos y ceros en un filtro recursivo tradicional. Ahora, si tiene la respuesta de paso, puede invertir esto y pre-convolucionar su señal de respuesta por eso. El resultado final es que todo el sistema exhibe exactamente una respuesta escalonada. Sin embargo, en el caso general, esto introduce un retraso de grupo, porque necesita "precargar" la respuesta inversa. En un sistema de control, esto puede conducir a una latencia no deseada.

Le daría la vuelta a esto y diría que, si tiene la capacidad de medir la respuesta de paso de su sistema, puede acortar gran parte de la teoría y seguir optimizando sus parámetros de control. En lugar de medir la respuesta de bucle abierto e intentar calcular los parámetros de control ideales (aunque eso es útil para encontrar un buen punto de partida para la optimización), puede ajustar su sistema midiendo la respuesta de bucle cerrado.

La idea principal es que medir la respuesta al escalón le permitirá ver (más o menos) si el sistema de control está subamortiguado, sobreamortiguado o críticamente amortiguado (el caso ideal).

Si mide la respuesta al escalón y ve que suena, sabrá que tiene poca amortiguación. Si mide la respuesta al escalón y la salida solo llega lentamente al valor final, sabrá que está subamortiguado. Si puede ajustar el controlador mientras mide repetidamente la respuesta de paso, simplemente puede ajustarlo para obtener la respuesta más rápida sin sonar y saber que está cerca de la mejor respuesta posible.

Puede comenzar simplemente usando el término P. Si los resultados no son satisfactorios, agregue los términos I y D. El término I ayuda a deshacerse de colas largas en la respuesta, o casos en los que la salida nunca alcanza el valor deseado. El término D es útil para acelerar la respuesta al "predecir" dónde irá la entrada a continuación. (Mi suposición, aunque no soy un experto en controles, es que el término P se puede optimizar en términos absolutos, pero la mejor elección de los términos I y D dependerá no solo de la respuesta de su sistema bajo control, sino también de las características, como el contenido de frecuencia y la amplitud, de la señal de entrada)

Una vez que haya obtenido la respuesta más rápida que pueda obtener sin sonar, ajústelo ligeramente sobreamortiguado para que un cambio de temperatura o lo que sea no ajuste el sistema a la oscilación.