¿Qué tan rápido viajan los electrones en un orbital atómico?

El estado de un electrón (o electrones) en los átomos no es un estado propio del operador de velocidad (o velocidad), por lo que la velocidad no está determinada con precisión. Sin embargo, es muy interesante hacer una estimación del orden de magnitud de la velocidad de los electrones en el átomo de hidrógeno (y es similar para otros átomos).

La velocidad$v$satisface

$$\frac{mv^2}2\sim \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}, \qquad mv\sim \frac{\hbar}{r}$$ La primera condición es un teorema virial (las energías cinética y potencial son comparables), mientras que la segunda es el principio de incertidumbre. El segundo te dice $r\sim \hbar / mv$que puede ser sustituida por la primera (eliminación de $r$) para obtener (ignoremos $1/2$) $$mv^2 \sim \frac{e^2 \cdot mv}{4\pi\epsilon_0\hbar},\qquad v \sim \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} c = \alpha c$$ asi que $v/c$, la velocidad en las unidades de la velocidad de la luz, es igual a la constante de estructura fina $\alpha$, aproximadamente $1/137.036$. La pequeñez de esta velocidad es la razón por la que la aproximación no relativista al átomo de hidrógeno es tan buena (aunque desde el principio se asumió una energía cinética no relativista): ¡las correcciones relativistas son suprimidas por potencias más altas de la constante de estructura fina!

Se podría discutir cómo la velocidad de los electrones de la capa interna y los electrones de valencia está escalando con$Z$etc. Pero la velocidad$v\sim \alpha c$seguiría siendo el factor clave en la fórmula de la velocidad.

Este es el reino de la mecánica cuántica y las nociones clásicas sobre puntos como electrones que viajan a ciertas velocidades realmente no se aplican en este dominio. Entonces no hay una velocidad promedio o una velocidad mínima o incluso una velocidad máxima (a excepción de la velocidad de la luz que es la velocidad máxima para cualquier partícula con masa).

Lo más cerca que puede llegar a tener un concepto de velocidad para un electrón en un orbital sería aplicar la relación de incertidumbre de Heisenberg que establece que

$$\Delta x \Delta p \geqslant \hbar$$ Así que si conectas el tamaño del orbital para $\Delta x$y resolver para $\Delta p$tendría una estimación de la incertidumbre en el impulso que luego podría relacionar con la incertidumbre en la velocidad.

Creo que puede ser útil completar la respuesta a esta pregunta resumiendo lo que sucede con los electrones internos.

Tomamos como punto de partida un núcleo con carga$Z$con un solo electrón unido a él. Nota, para$Z > 1$este no sería un átomo neutro pero es un punto de partida útil para el cálculo. En este caso se encuentra, a partir de la teoría cuántica no relativista, que el valor medio de la energía cinética del electrón en el estado fundamental es igual a

$$\left< {\rm KE} \right> = \frac{1}{2} m (Z \alpha)^2 c^2$$ dónde$\alpha = e^2/4\pi \epsilon_0 \hbar c$es la constante de estructura fina, cuyo valor numérico es aproximadamente$1/137$. Entonces, sobre esta base, podemos decir que la velocidad rms del electrón en el estado fundamental de dicho átomo cargado (ion) es $$v_{\rm r.m.s.} = Z \alpha c.$$ (También puede pensar en esto como el momento rms dividido por la masa$m$).

Ahora consideremos átomos neutros. El cálculo anterior da una estimación aproximada del orden de magnitud si reemplazamos$Z$por$Z-\sigma_n$dónde$\sigma_n$es un factor de apantallamiento que explica el hecho de que un electrón en la capa$n$(es decir, que tiene el número cuántico principal$n$) no experimenta, en promedio, todo el campo eléctrico del núcleo, sino un campo eléctrico reducido debido a la presencia de la carga negativa de los otros electrones. Para la capa más externa este$\sigma_n$será sobre$Z-g/2$dónde$g$es el número de electrones en la capa más externa (igual al número de grupo en muchos casos). La idea es que todos los electrones en las capas inferiores protejan la carga nuclear, y cada uno de los que están en la última capa la proteja aproximadamente la mitad del tiempo que los otros electrones en la misma capa. Todo esto es solo una declaración aproximada que ignora los efectos de la forma de los orbitales. Conduce a una estimación del orden de magnitud de la velocidad rms de los electrones más externos:

$$v_{\rm outer} \approx \frac{g \alpha c}{2}$$ Tenga en cuenta que hemos ignorado el hecho de que la función de onda en sí es diferente para$n > 1$comparado con$n=1$, por lo que habrá otros factores relacionados con$n$.

Procediendo ahora a las capas internas, uno puede tomar como$\sigma_n$aproximadamente el número de electrones en las capas igual o menor que el que está pensando. para concha$n$este numero es$2 n^2$. Entonces obtenemos

$$v_{\rm inner} \approx (Z - 2 n^2) \alpha c.$$

Así se encuentra que para el uranio ($Z = 92$) las velocidades de la capa más interna son del orden de la velocidad de la luz. Esto hace que este átomo sea un banco de pruebas útil para la teoría cuántica relativista. Más ampliamente, de cesio$(Z = 55)$hacia arriba los electrones internos tienen velocidades del orden de la mitad de la velocidad de la luz, y del francio$(Z=87)$aproximadamente la mitad de los electrones tienen velocidades superiores a un tercio de$c$.

En conjunto, entonces, los electrones rápidos son una característica importante de la física atómica de los elementos pesados. (Y para cálculos de precisión uno debe permitir efectos relativistas en todos los casos, no solo el alto$Z$átomos).

Esto suena absurdamente simple, pero para resultados de orden de magnitud, coincide bien con los resultados en línea y otros resultados aquí. La gente tiende a pensar que las viejas dinámicas newtonianas son inútiles a escala atómica, pero aún se aplican si la velocidad está muy por debajo de la velocidad de la luz.

Simplemente tome la fuerza eléctrica entre el electrón y el núcleo, conviértala en una aceleración por a = F/m, y luego equilibre esa aceleración con la aceleración centrípeta de la velocidad al cuadrado sobre r. Es decir, v = SQRT(rF/m).

Lo sé, podrías decir que eso no funciona, un electrón no es como un satélite en una ubicación puntual, sino que está esparcido en una nube de electrones alrededor de un orbital. Pero recuerda: la definición de orbital es un camino en el que cada punto es un equilibrio entre las energías cinética y potencial. Entonces, cada ubicación en un orbital esférico tiene que ser un punto de equilibrio entre la aceleración centrípeta y la atracción electrostática.

donde épsilon-cero es 0.00000000000885 y la carga q de un electrón es 1.606e-19 coulomb.

Ejemplo de hidrógeno: