Dos definiciones contradictorias de quiralidad

Considere un fermión de Majorana incrustado en un espinor de Dirac,

ψ = ( ψ L i σ 2 ψ L ∗ ) .
El fermión de Majorana ψ L es de izquierda quiral, es decir, se transforma en el ( 1 / 2 , 0 ) representación del grupo Lorentz.

Ahora, también me han dicho que puedes proyectar componentes de quiralidad usando PAG L = ( 1 − γ 5 ) / 2 y PAG R = ( 1 + γ 5 ) / 2 . Entonces hubiera esperado que

PAG L ψ = ψ , PAG R ψ = 0
aunque claramente este no es el caso.

El problema también aparece al considerar la conjugación de carga,

C : ψ → − i γ 2 ψ ∗ .
La conjugación de carga no afecta a un fermión de Majorana, por lo que deja la representación de la quiralidad en paz. Pero por otro lado, si PAG L ψ = ψ , entonces
PAG R ( C ψ ) = C ψ
entonces cambia el otro tipo de quiralidad.

¿ Cuál es la diferencia entre estas dos nociones de quiralidad ? Creo que mi problema es que estoy fusionando las propiedades del campo (la quiralidad de la 'representación') y las propiedades de los estados cuánticos individuales (la PAG L / PAG R quiralidad). Pero no he visto ningún libro de texto que distinga entre los dos.

Después de trabajar con algunos ejemplos, estoy bastante seguro PAG L y PAG R en realidad proyecta helicidad , no quiralidad. Excepto que acabo de ver tres libros de texto que dicen lo contrario.
No PAG L y PAG R definitivamente proyecto quiralidad no helicidad.
@JakobH Está bien. Ahora, la conjugación de carga se voltea PAG L y PAG R autoestados, pero no cambia la representación del grupo de Lorentz. Entonces, ¿cuál de estas dos nociones es la quiralidad 'real'?
¿Por qué la conjugación de cargos no debería cambiar las representaciones de Lorentz? Un espinor en el ( 1 / 2 , 0 ) la representación se convierte en un espinor en el ( 0 , 1 / 2 ) Representación bajo conjugación de carga.
Los fermiones de Majorana no son quirales y no corresponden a la representación (1/2,0), eso es lo que son los espinores de Weyl.

Respuestas (1)

Creo que su problema es principalmente un problema de notación. Si escribe dos espinores de Weyl dentro de un espinor de Dirac, debe usar símbolos diferentes para evitar confusiones, es decir

ψ = ( ξ L i σ 2 ξ L ∗ ) .

Ahora, su objeto Ψ tiene una componente quiral izquierda ξ L y una componente quiral derecha i σ 2 ξ L ∗ . (Un espinor de Dirac es un objeto que se transforma según la ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) representación.) Por lo tanto, no debería sorprender que PAG R Ψ ≠ 0 . El punto de un fermión de Majorana es que los componentes quirales izquierdo y derecho no son independientes , es decir, el componente quiral derecho es simplemente la carga conjugada del componente quiral izquierdo. Un espinor general de Dirac, por el contrario, dice

ψ = ( ξ L η R ) ,

con i σ 2 ξ L ∗ ≠ η R . Una forma de pensar en los espinores de Majorana es como espinores de Dirac "reales". Consulte la nota al margen 12 aquí .

¡Gracias por la respuesta! Supongo que mi principal confusión es que un fermión de Majorana, escrito en notación de dos componentes, es quiral izquierdo o derecho, pero no ambos. Pero al incrustarlo en un espinor de Dirac, que es solo un cambio de notación, hay componentes tanto quirales izquierdos como quirales derechos. ¿Cuál es la interpretación de la componente quiral derecha?
@knzhou Sí, un espinor de Dirac es simplemente una notación conveniente. El punto es que la quiralidad es invariante de Lorentz, pero no se conserva en el tiempo. Por lo tanto, para describir la naturaleza, siempre debemos tener en cuenta que cada partícula puede aparecer como quiral izquierda y derecha. Para realizar un seguimiento de las partes quirales izquierda y derecha, las escribimos en un objeto. Puede trabajar con espinores de Weyl, pero entonces es más difícil hacer un seguimiento de este cambio de quiralidad en el tiempo.
Lo siento, ahora estoy realmente confundido. ¿Estás diciendo que la quiralidad de una partícula de Majorana cambia? Pensé que los usamos para representar neutrinos zurdos.
@knzhou ¡Sí! Como estudiante del MIT, supongo que tiene acceso a SpringerLink, es decir, libros electrónicos gratuitos de Springer. En caso afirmativo, consulte el capítulo 8.8 en link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-19201-7 . Allí esto se muestra explícitamente
¡Gracias por la referencia! Tenía mucho sentido, y definitivamente lo leeré más detenidamente más adelante.
Una última pregunta: puede trabajar con fermiones de Majorana con solo el campo de espinor de 2 componentes ξ L , es decir, puedes escribir un Lagrangiano en términos de solo ξ L y derivar una ecuación de movimiento para él. No hay espinor diestro a la vista. En este caso, tengo problemas para ver cómo una solución a la ecuación de movimiento puede ser cualquier cosa además de quiral izquierda. ¿Estoy mezclando algo aquí?
@knzhou Creo que para escribir un escalar de Lorentz necesitas algo de la forma ξ L C ξ L . Entonces obtienes una ecuación de movimiento para ξ L y uno para ξ L C . Estas ecuaciones no serán independientes entre sí y, por lo tanto, habrá alguna descripción de cómo algo puramente quiral por la izquierda se convierte en quiral por la derecha a medida que pasa el tiempo.
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