¿Cómo explica la mecánica newtoniana por qué los objetos que orbitan no caen sobre el objeto que orbitan?

La mecánica newtoniana explica que caen hacia el objeto que están orbitando, simplemente siguen fallando.

---

Derivación rápida y sucia para una órbita circular.

Que el primario tenga masa$M$y la masa del satélite$m$tal que$m \ll M$(También se puede hacer para otros casos, pero esto ahorra matemáticas).

Supongamos que comenzamos con una órbita circular inicial en el radio$r$, velocidad$v = \sqrt{G\frac{M}{r}}$. La aceleración del satélite debido a la gravedad es$a = G\frac{M}{r^2}$lo que significa que también podemos escribir$v = \sqrt{\frac{a}{r}}$. El periodo de la órbita es$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r}{a}}$.

Elija un sistema de coordenadas en el que la posición inicial sea$r\hat{i} + 0\hat{j}$y la velocidad inicial apunta en el$+\hat{j}$dirección. Elegí poco tiempo$t \ll T$y veamos qué tan lejos del primario termina el satélite después de ese tiempo.

si hemos elegido$t$lo suficientemente corto, podemos aproximarnos a la gravedad como si tuviera una fuerza uniforme a lo largo del período de tiempo (y mostraremos más adelante que eso está justificado).

La nueva posición es$\left(r - \frac{1}{2}at^2\right)\hat{i} + vt\hat{j}$que se encuentra a distancia

$$r_2 = \sqrt{r^2 - r a t^2 + \frac{1}{4}a^2 t^4 + v^2 t^2}$$ tirando de nuestro factor de $r$obtenemos $$r_2 = r \sqrt{1 - \frac{a}{r} t^2 + \frac{1}{4}\frac{a^2}{r^2} t^4 + \frac{v^2}{r^2} t^2}$$ y convirtiendo todos los $\frac{a}{r}$y $\frac{v}{r}$términos en expresiones del período obtenemos $$r_2 = r \sqrt{1 - \left(2\pi\frac{t}{T}\right)^2 + \frac{1}{4}\left(2\pi\frac{t}{T}\right)^4 + \left(2\pi\frac{t}{T}\right)^2}$$ Finalmente, soltamos el $(t/T)^4$término como insignificante y tenga en cuenta que el $(t/T)^2$los términos se cancelan, por lo que el resultado es $$r_2 = r$$ o el radio nunca cambió (lo que justificó la magnitud constante de la aceleración, y un tamaño lo suficientemente pequeño $t$justifica tanto la dirección constante como la supresión del término de cuarto grado).

La fuerza de gravedad tiene poco que ver con la fricción. Como dice dmckee, lo que sucede es que el cuerpo cae, pero precisamente porque tiene suficiente impulso, cae alrededor del objeto hacia el que gravita en lugar de caer dentro de él. Por supuesto, este no es siempre el caso, las colisiones ocurren. También los sistemas de cuerpos astronómicos son complicados y el efecto combinado de la acción de varios cuerpos diferentes sobre uno puede desestabilizar trayectorias que en un caso simple de 2 cuerpos serían elipses estables. El resultado podría ser la colisión o el escape del cuerpo.

Sin embargo, en el caso de dos cuerpos, el aspecto crucial de la gravedad que garantiza la estabilidad del sistema es el hecho de que la gravitación es una fuerza centrípeta . Siempre actúa hacia el centro de la otra masa gravitante. Se puede demostrar que esta característica implica la conservación del momento angular , lo que significa que si el sistema de 2 cuerpos tuviera algún momento angular para empezar, mantendrá el mismo momento angular indefinidamente.

(Nota adicional, incluso en el caso de 2 cuerpos, puede haber colisiones y escapar al infinito, la primera si no hay suficiente momento angular (por ejemplo, un cuerpo tiene velocidad dirigida hacia el otro cuerpo, como una manzana que cae de un árbol ), el otro si hay demasiado momento angular, resultando en trayectorias parabólicas o hiperbólicas.)

Siempre lo pienso de esta manera: la gravedad y la fuerza centrífuga generada por el objeto en órbita están exactamente en equilibrio. Si atas una cuerda a un objeto y la haces girar a tu alrededor, la fuerza centrífuga tirará de la cuerda. Tiras hacia atrás con la misma fuerza para mantener el objeto orbitando a tu alrededor. Eso es exactamente lo que la gravedad hace con los objetos en órbita.

También puede ver que la velocidad del objeto lo obliga a entrar en una órbita particular. Si el objeto se ralentiza, caerá y alcanzará una nueva órbita más baja o chocará contra el objeto alrededor del cual está girando.