¿Por qué el volumen excluido es 4 veces el volumen de la molécula de gas en la corrección de volumen de la ecuación de gas ideal de van der Waal? [cerrado]

Considere un mol de gas compuesto de partículas puntuales que no interactúan y que satisfacen la ley de los gases ideales:

$$p=\frac{RT}{V_{m}}=\frac{RT}{v}$$

A continuación, suponga que todas las partículas son esferas duras del mismo radio finito r (el radio de van der Waals). El efecto del volumen finito de las partículas es disminuir el espacio vacío disponible en el que las partículas pueden moverse libremente. debemos reemplazar$V$por$V − b$, dónde$b$se denomina volumen excluido o "co-volumen". La ecuación corregida se convierte en:

$$p=\frac{RT}{V_{m}-b}$$

El volumen excluido$b$no es solo igual al volumen ocupado por las partículas sólidas de tamaño finito, sino cuatro veces ese volumen. Para ver esto, debemos darnos cuenta de que una partícula está rodeada por una esfera de radio$2r$(dos veces el radio original) que está prohibido para los centros de las otras partículas. Si la distancia entre los centros de dos partículas fuera menor que$2r$, significaría que las dos partículas se penetran entre sí, lo que, por definición, las esferas duras no pueden hacer.

El volumen excluido de las dos partículas (de diámetro medio$d$o radio$r$) es:

$$b'_{2}=4\pi\frac{d^{3}}{3}=8\cdot(4\pi r^{3}/3)$$

que dividido por dos (el número de partículas que chocan) da el volumen excluido por partícula:

$$b'=b'_{2}/2 \rightarrow b'=4\cdot (4\pi r^{3}/3)$$

Entonces$b′$es cuatro veces el volumen propio de la partícula. Fue un punto de preocupación para van der Waals que el factor cuatro produce un límite superior; valores empíricos para$b′$suelen ser inferiores. Por supuesto, las moléculas no son infinitamente duras, como$\textit{van der Waals}$pensamiento, y a menudo son bastante suaves.

Fuente: Wikipedia