¿Cuál es el ancho de decaimiento y por qué se da en unidades de energía?

Al igual que @DavidZ, encontré esta muy buena pregunta, pero a diferencia de él, no soy un físico profesional, por lo que intentaré responder la pregunta en un nivel simplista que puede no ser adecuado para @Martin, ya que no sé en qué nivel está trabajando, pero dado que está leyendo el libro de Thomson, debe ser bastante avanzado.

Comienzo con la ley de decaimiento de Rutherford y Soddy que establece que la tasa de decaimiento$\dot N(t)$de una partícula inestable (o núcleo) en un momento dado$t$es proporcional al número de esas partículas que están presentes$N$En ese tiempo$t$.

$$\dfrac {dN}{dt} = \dot N(t) = \propto N(t) \Rightarrow \dot N = - \lambda N$$

dónde$\lambda$es la constante de descomposición.

Ahora, a menudo ocurre que hay más de un modo de decaimiento y para cada uno de los modos de decaimiento hay una constante de decaimiento correspondiente, por lo que ahora se debe escribir que la tasa de decaimiento depende de la suma de todos los modos de decaimiento.

$$\dot N_{\text{all}} (t) = -\lambda_A N(t) -\lambda_B N(t)-\lambda_C N(t) - . . . . .$$

dónde$\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C$etc. son las constantes de decaimiento para los distintos modos de decaimiento.

De esto se obtiene$\dot N_{\text{all}} = - \lambda_{\text{all}} N$dónde$\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . .$

Entonces, esa partícula en descomposición tiene una constante de descomposición que es la suma de las constantes de descomposición para todos los posibles modos de descomposición.
En el momento de la descomposición, la partícula en descomposición elige un modo particular de descomposición y la probabilidad de tal descomposición se expresa como una fracción de ramificación o una relación de ramificación.

La vida media de una partícula inestable$\tau$está relacionado con la constante de decaimiento$\tau = \dfrac 1 \lambda$.

Como se analiza en Tiempos de vida de las partículas a partir del principio de incertidumbre , "el principio de incertidumbre en la forma$\Delta E \Delta t > \hbar/2$sugiere que para partículas con vidas extremadamente cortas, habrá una incertidumbre significativa en la energía medida".

Cuando se realizan mediciones de la energía de masa en reposo de una partícula inestable sin errores de instrumento, se obtiene un gráfico del siguiente tipo.

El ancho de tal distribución de energías de masa se llama ancho de decaimiento.$\Gamma$y se mide en unidades de energía.

El ancho de decaimiento está relacionado con la incertidumbre en la energía de la siguiente manera.

$$\Gamma = 2 \Delta E = \dfrac \hbar \tau = \hbar \lambda$$

dónde$\lambda$es la constante de descomposición.

Sin embargo, el bosón Z tiene muchos modos de decaimiento, por lo que esta ecuación debe escribirse como$\Gamma_{\text{all}} = \hbar \lambda_{\text{all}}$

Recordando eso$\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . .$conduce a la expresión

$$\Gamma_{Z,\text{all}}=\Gamma_{ee} +\Gamma_{\mu\mu} +\Gamma_{\tau\tau} +\Gamma_{hadrons} +\Gamma_{v_e v_e} +\Gamma_{v_\mu v_\mu} +\Gamma_{\tau \tau},$$

donde se enumeran los diversos modos de decaimiento del bosón Z.

Luego se realizan múltiples experimentos para investigar los modos de descomposición y su probabilidad.

Todos estos datos experimentales se comparan luego con los datos teóricos que se basan en el modelo estándar y se ha encontrado que las concordancias son muy buenas con un alto grado de precisión.
La precisión con la que se realiza el trabajo experimental se puede medir con una de las diapositivas del profesor Thomson y esto está usando el viejo acelerador del CERN.

Ingresar el ancho de descomposición en el motor de búsqueda de este sitio web también es muy esclarecedor.

Intentaré expandir la gran respuesta de @Farcher y explicar el papel del ancho de decaimiento en la teoría cuántica de campos (como de costumbre, estableceré$\hbar=c=1$).

La función de onda de una partícula estable oscila con una frecuencia que, en su marco de reposo, viene dada por su masa

$$\psi(t) \propto e^{-i p_\mu x^\mu } = e^{-i( E t - \vec{p}\cdot\vec{x})} = e^{-iMt}$$

Pero una partícula inestable se desintegra y, por lo tanto, la probabilidad de encontrar la partícula disminuirá exponencialmente de acuerdo con la constante de desintegración.$\lambda$, o el ancho de caída$\Gamma$:

$$\psi(t) \propto e^{-iMt} e^{-\Gamma t/2} = e^{-i(M-i\Gamma/2)t}\ ,$$ $$P(t) = |\psi(t)|^2 \propto e^{-\Gamma t}$$ En este sentido, se puede decir que una partícula inestable tiene una "masa compleja"$M' = M-i\Gamma/2$, donde la parte imaginaria es el ancho de caída. Está claro que el ancho de decaimiento debe tener unidades de masa = energía (recuerde que$c=1$).

En la teoría cuántica de campos, un objeto esencial es el propagador, que es la probabilidad de amplitud para la propagación de la partícula desde el punto del espacio-tiempo.$x$a$y$. Para una partícula libre, estable (y escalar, por simplicidad), el propagador es

$$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2}$$ mientras que el de una partícula inestable será $$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-(M-i\Gamma/2)^2}\approx \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2+i\Gamma M}$$ La amplitud de probabilidad para el decaimiento viene dada por la transformada de Fourier de este propagador (también conocido como el propagador en el espacio de momento), y la probabilidad por su valor absoluto al cuadrado: $$P \propto \left|\frac{1}{E^2-M^2+i\Gamma M}\right|^2 = \frac{1}{(E^2-M^2)^2+\Gamma^2 M^2}$$ que es la célebre distribución Breit-Wigner, donde$\Gamma$es el ancho de la distribución a media altura.

Pensé que el OP y otros podrían encontrar útil alguna información general sobre el vínculo entre las tasas de decaimiento y los anchos, ya que, como señala David Z, este material básico a veces es difícil de encontrar en los libros de texto.

Respuesta práctica

Cuando una determinada partícula tiene un tiempo de vida empíricamente conocido$\tau$, es costumbre asignarle un "ancho"

$$\Gamma=\frac{\hbar}{\tau},$$ que, aparte de la constante dimensional $\hbar$, no es más que la tasa de descomposición de la partícula.

Puede sonar reductivo, pero creo que esta definición es casi todo lo que necesitas para entender la mayoría de los textos introductorios a la Física de Altas Energías (HEP), que a menudo se centran en los aspectos experimentales en lugar del análisis teórico bastante complicado de los procesos HEP.

Tratar con tasas de decaimiento es mucho más práctico, porque en presencia de varios canales de decaimiento, como en la reacción que escribiste, la tasa de decaimiento total es, por supuesto, la suma de las tasas en cada canal individual. La ecuación que citó significa que la tasa total de descomposición de la$Z$bosón es la suma de las tasas de decaimiento en el canal$e ^+ e ^-$,$\mu ^+ \mu ^-$, etc..

Anchos de decaimiento en espectroscopia

Considere un átomo en su primer estado excitado$\vert e \rangle$, que se desintegra a su estado fundamental$\vert g\rangle$emitiendo un fotón con energía aproximada$\hbar \omega \approx E_e - E_g$. La teoría de la perturbación de primer orden da:

$$\hbar \omega = E_e - E_g \qquad \text{(strict equality)}$$ y $$\frac{1}{\tau}=\dfrac{2\pi}{\hbar}\overline{\vert V_{fi} \vert ^2} \rho _f (E_g),$$ dónde $\rho _f$es la densidad de estados finales, es decir, la densidad de estados de fotones con energía $\hbar \omega = E_e-E_g$.

Yendo más allá de la teoría de la perturbación de primer orden, como lo mostraron originalmente Weisskopf y Wigner , muestra que la distribución de energía del fotón emitido no es un Dirac$\delta$, pero (en una muy buena aproximación, correcta de segundo orden, creo) una distribución de Breit-Wigner:

$$f(\hbar \omega)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac {\frac{\Gamma}{2}}{(\hbar \omega - E_e -E_g)^2 + (\frac{\Gamma}{2})^2},$$ dónde $\Gamma= \frac{\hbar}{\tau}$. Esto da una interpretación del término "ancho", ya que $\Gamma$es el ancho total a la mitad del máximo de $f$. Además, el resultado se puede interpretar diciendo que el estado inicial, $\text{“atom in excited state + no photons"}$, tiene una incertidumbre en energía igual a $\Gamma$, que se refleja en la incertidumbre en la energía del fotón en el estado final.

Anchos de línea y decaimiento exponencial

Considere un sistema cuántico con hamiltoniano$H=H_0 + V$.$V$es, como siempre, la perturbación.

En general, se puede demostrar (ver, por ejemplo , Sakurai , "Ancho de línea natural y cambio de línea") que la amplitud de probabilidad para un sistema preparado en un estado inestable$\vert i \rangle$a$t=0$permanecer en el mismo estado es, por tiempos suficientemente largos:

$$\langle i \vert \Psi (t)\rangle = \exp [-i\,\frac {E_i}{\hbar} t -i\frac{\Delta _i}{\hbar}t], \qquad (1)$$ dónde $$\Delta _i = V_{ii} + \text P. \sum _{m \neq i}\dfrac {\vert V_{mi}\vert ^2}{E_i -E_m}- i\pi \sum _{m\neq i} \vert V_{mi}\vert ^2 \delta (E_i-E_m)+O(V^3).$$

Las sumas sobre los estados anteriores son formales, solo tienen sentido en el límite de un espectro continuo en$E=E_i$, como en el caso de la descomposición del átomo (tenga en cuenta que en este caso el "sistema" no es solo el átomo, sino el átomo + campo compuesto).

La parte imaginaria de$\Delta _i$, que es solo el$\frac{\Gamma}{2}=\frac{\hbar}{2\tau}$dada por la teoría de la perturbación de primer orden, da un decaimiento exponencial para el estado inestable. Supongamos que un estado$\vert i \rangle$satisface:

$$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i \rangle =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t-\frac{\Gamma}{2\hbar}t}.$$ si ampliamos $\vert i \rangle$en la base de los estados propios de energía exactos de $H=H_0 +V$, suponiendo, como arriba, un espectro continuo: $$\vert i \rangle =\intop \text d E \, g(E)\vert E \rangle,$$ obtenemos: $$\intop \vert g (E)\vert ^2 e^{-i\frac {E}{\hbar}t}\text d E =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t -\frac{\Gamma}{2\hbar }t}.$$ Esto es consistente con $$\vert g(E) \vert ^2 = \frac{1}{\pi}\dfrac{ \frac{\Gamma}{2}}{(E-E_0)^2+(\frac{\Gamma}{2})^2}.$$ Estrictamente hablando, la fórmula de Breit-Wigner para $\vert g(E)\vert ^2$seguiría exactamente sólo si la condición: $$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i\rangle=e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t-\frac{\Gamma}{2\hbar}\vert t \vert }$$ estaba satisfecho por todo $t\in \mathbb R$. Nunca he hecho la teoría de la perturbación hacia atrás, pero asumo que el resultado (1) también es válido para $t<0$, con $-\Gamma t$reemplazado por $-\Gamma \vert t\vert = +\Gamma t$. Revisaré mejor este punto cuando tenga algo de tiempo.

cosas relacionadas

Aquí hay un par de cosas que están relacionadas con$\Gamma \tau = \hbar$, pero que no quiero discutir aquí porque no estoy muy preparado al respecto y también porque temo salirme del tema.

1. Ancho de una resonancia . En varias situaciones, la sección transversal de un proceso dado, como función de la energía, tiene la forma aproximada de un Breit-Wigner. Además, el ancho$\Gamma$está relacionado con la vida media$\tau$de la resonancia a través de$\Gamma \tau = \hbar$. Para algunas discusiones elementales, sugiero a Baym y Gottfried .
2. Relación de incertidumbre tiempo-energía . Hay varias publicaciones en Phys.SE que discuten la llamada "relación de incertidumbre de tiempo-energía", por ejemplo, this y this . También recomiendo este breve artículo de Joos Uffink.