¿Cómo calcular el rango de precesión nodal de la Luna con respecto al ecuador celeste?

Quiere saber el rango de RA donde el plano orbital de la Luna cruza el ecuador celeste de sur a norte, por lo que necesitamos encontrar la línea de intersección de esos dos planos.

El vector correspondiente a la línea de intersección de dos planos es igual al producto cruzado de las normales de los planos. Podemos encontrar esas normales usando matrices de rotación . Los parámetros relevantes se dan en relación con el plano de la eclíptica, por lo que es conveniente trabajar en ese sistema de coordenadas. Usaré un sistema de coordenadas diestro, tratando la esfera celeste como una esfera unitaria, por lo que nuestros planos de interés se representan como círculos de radio 1.

El Primer Punto de Aries es el punto de la esfera celeste donde el Sol se encuentra en el equinoccio de marzo, cuando cruza el ecuador celeste de sur a norte, por lo que es un punto donde el ecuador celeste y la eclíptica se cruzan. En nuestro sistema está en el eje X con coordenadas cartesianas$(1,0,0)$. Tanto la longitud de la eclíptica como la RA son iguales a cero en este punto.

Tenemos la inclinación de la Luna$i$, que es de aproximadamente 5,14°, pero oscila entre aproximadamente 4,98° y 5,30°. La oblicuidad de la eclíptica$\varepsilon$es actualmente un poco más de 23.436°, pero necesitamos negar eso para obtener la inclinación del ecuador en relación con la eclíptica. El último parámetro lunar que necesitamos es$\omega$, la longitud del nodo ascendente de la Luna, que oscila entre 360° y 0° en el transcurso del ciclo de precesión lunar.

Para encontrar las normales de nuestro plano, comenzamos con un círculo en el plano XY, por lo que su normal es el$Z$vector$(0, 0, 1)$luego lo rotamos alrededor del eje X por su inclinación, usando la multiplicación de matrices. Para realizar la precesión del plano lunar, lo rotamos alrededor del eje Z por$\omega$. Esto nos lleva a la siguiente ecuación para el vector de la línea de intersección:

$$P = (Rx(\varepsilon)Z) \times (Rz(\omega)Rx(i)Z)$$ dónde$Rx(.)$&$Rz(.)$son matrices de rotación.

Generalmente,$P$no es un vector unitario, pero podemos normalizarlo fácilmente para que tenga longitud unitaria, si es necesario. Tenga en cuenta que nuestro plano XY es la eclíptica. podemos rotar$P$alrededor del eje X por$-\varepsilon$determinar sus coordenadas en el plano ecuatorial.

No haré todo el álgebra aquí, pero las coordenadas ecuatoriales de$P$son

$$\begin{align} x & = \cos(\varepsilon) \cos(\omega) \sin(i) - \sin(\varepsilon)\cos(i)\\ y & = -\sin(\omega)\sin(i)\\ z & = 0 \end{align}$$

la AR$\alpha$correspondiente a P es sólo

$$\alpha=\tan^{-1}\left(\frac yx\right)$$

Encontrar el$\omega$correspondiente al máximo y mínimo de$\alpha$implica algunos tediosos cálculos trigonométricos y álgebra. Afortunadamente, los resultados son bastante simples. :)

$$\begin{align} \omega & = \cos^{-1}(\tan(i) / \tan(\varepsilon))\\ \alpha & = \sin^{-1}(\sin(i) / \sin(\varepsilon)) \end{align}$$

Con suerte, no he estropeado un signo menos en alguna parte mientras transcribía todas esas ecuaciones. ;)

Finalmente, aquí hay algunos resultados reales. Usando el valor de$\varepsilon$mencionado anteriormente,

Aquí está la trama única para$i=5.14°$

Y aquí está el script de Sage/Python que hizo esa trama.

Por último, aquí hay un animé interactivo que demuestra que el álgebra anterior realmente funciona. ;)

El gran círculo negro es la eclíptica. El plano azul es el ecuador celeste, el plano naranja es el plano orbital lunar. El alphaparámetro controla la transparencia de los planos lunar y eclíptico; configúrelo en cero si desea círculos vacíos para esos planos. La bola azul en el ecuador es el Primer Punto de Aries. La bola naranja en el plano lunar es el nodo norte de la Luna. Ambas bolas se sientan en la eclíptica. La línea verde y la bola muestran la intersección del ecuador y el plano lunar, y las pequeñas bolas rojas muestran el recorrido máximo de la bola verde.

Por defecto, el anim usa -30° para oe=$\varepsilon$y 10° para inc=$i$para que sea un poco más fácil ver lo que está sucediendo. Puede cambiar esos valores a los ángulos que desee, pero incdebe ser positivo y oenegativo, de lo contrario, los nodos norte y los nodos sur se intercambian. Además, el valor absoluto de inc debe ser menor que el valor absoluto de oeo el programa fallará.

Interacción de los Planos

El plano orbital de la Luna mantiene una inclinación relativamente constante con respecto a la eclíptica, que en la actualidad es de unos$5^{\large\circ}09'$, y los nodos precesan a lo largo de la eclíptica a un ritmo bastante constante. El ecuador de la Tierra está inclinado sobre$23^{\large\circ}27'$a la eclíptica.

En la siguiente animación, los diversos planos se cruzan con una esfera: la eclíptica está en rojo, el ecuador de la Tierra está en verde y el plano orbital lunar está en azul:

La siguiente animación muestra las ubicaciones del polo norte de la eclíptica en rojo, el polo norte celeste en verde y el polo norte de la órbita lunar en azul, y cómo afectan la ubicación del nodo lunar ascendente a lo largo del ecuador celeste.

---

trigonometría esférica

Veamos la geometría de los triángulos en la esfera. Dejar$E$ser el polo norte de la eclíptica,$C$el polo norte celeste,$L$el polo norte de la órbita lunar. Además, deja$F$ser la intersección del ecuador y la eclíptica, es decir, el Primer Punto de Aries, y$A$ser el nodo ascendente de la órbita lunar en el ecuador.

Como un ecuador es$90^{\large\circ}$de su polo, cada uno de los arcos$LA$,$CA$,$EF$, y$CF$es$90^{\large\circ}$. La ley de los cosenos da entonces que

$$\require{cancel} \begin{align} CL&=CAL\tag{1a}\\ CE&=CFE\tag{1b}\\ FA&=FCA\tag{1c} \end{align}$$ Explicación:
$\text{(1a)}$:$\cos(CL)=\overset{0}{\cos(LA)}\,\overset{0}{\cos(CA)}+\overset{1}{\sin(LA)}\,\overset{1}{\sin(CA)}\cos(CAL)$
$\text{(1b)}$:$\cos(CE)=\cos(EF)\cos(CF)+\sin(EF)\sin(CF)\cos(CFE)$
$\text{(1c)}$:$\cos(FA)=\cos(CF)\cos(CA)+\sin(CF)\sin(CA)\cos(FCA)$

La ley de los senos dice entonces que

$$\begin{align} LCA&=90^{\large\circ}\tag{2a}\\ ECF&=90^{\large\circ}\tag{2b} \end{align}$$ Explicación:
$\text{(2a)}$:$\frac{\sin(LCA)}{\sin(LA)}=\frac{\sin(CAL)}{\sin(CL)}=1$
$\text{(2b)}$:$\frac{\sin(ECF)}{\sin(EF)}=\frac{\sin(CFE)}{\sin(CE)}=1$

ecuaciones$\text{(2a)}$y$\text{(2b)}$muestra esa

$$\begin{align} LCA&=ECF\tag{3a}\\ LCF+FCA&=ECL+LCF\tag{3b}\\ FCA&=ECL\tag{3c} \end{align}$$ $\text{(1c)}$y$\text{(3c)}$entonces da $$FA=ECL\tag4$$

Para un triángulo esférico general,$ECL$,

$$\begin{align} \tan(ECL) &=\frac{\sin(EL)\sin(LEC)}{\cos(EL)\sin(EC)-\sin(EL)\cos(EC)\cos(LEC)}\tag{5a}\\ &=-\frac{\sin(EL)\sin(CEL)}{\cos(EL)\sin(EC)-\sin(EL)\cos(EC)\cos(CEL)}\tag{5b} \end{align}$$ enchufando$EL=5^{\large\circ}09'$y$EC=23^{\large\circ}27'$da el siguiente gráfico de la ascensión recta del nodo ascendente lunar en minutos, donde$1^\text{m}=\frac14{}^{\large\circ}$:

Los extremos en el gráfico ocurren cuando$CL$es tangente al círculo recorrido por el polo de la órbita lunar. En ese punto,

$$\begin{align} \sin(ECL)&=\frac{\sin(EL)}{\sin(EC)}\tag{6a}\\ ECL&=52^\text{m}09^\text{s}\tag{6b}\\[4pt] &=13^{\large\circ}02'\tag{6c} \end{align}$$ y $$\begin{align} \cos(CEL)&=\frac{\tan(EL)}{\tan(EC)}\tag{7a}\\ CEL&=78^{\large\circ}00'\tag{7b} \end{align}$$ Desde$78^{\large\circ}$es menos que$90^{\large\circ}$, se tarda un poco menos de$8.1$años para que el nodo ascendente vaya desde su punto más al oeste hasta su punto más al este, mientras que toma un poco más de$10.5$años para volver a su punto más lejano al oeste.

Las paradas lunares ocurren cuando el gráfico anterior cruza$0^\text{m}$, eso es también cuando los polos se alinean, y así ocurren$9.3$años de diferencia

Dejo esta respuesta anterior aquí porque el OP la encontró útil. Pero por favor vea mi nueva respuesta. ;)

---

El nodo ascendente de la Luna progresa con (principalmente) un movimiento retrógrado alrededor de la eclíptica. Es costumbre especificarlo en términos de su longitud eclíptica, pero podemos convertirlo fácilmente a coordenadas ecuatoriales usando las ecuaciones trigonométricas esféricas estándar . Dado que la latitud eclíptica de un punto en la eclíptica es cero, esas ecuaciones se simplifican a:

$$\tan\alpha = \frac{\sin\lambda\cos\varepsilon}{\cos\lambda}$$ $$\sin\delta = \sin\lambda\sin\varepsilon$$ dónde
$\alpha$es ascension recta
$\delta$es declinación
$\lambda$es la longitud de la eclíptica
$\varepsilon$es la oblicuidad de la eclíptica

Podemos obtener la longitud de la eclíptica del nodo ascendente de la Luna de JPL Horizons , a través de una consulta de elementos osculadores.

El JPL Planetary and Lunar Ephemerides DE440 y DE441 ofrece esta fórmula para la oblicuidad de la eclíptica, que también se puede encontrar en Wikipedia :

$$\varepsilon = 84381.448 - 46.815T -0.00059T^2 + 0.001813T^3$$

dónde$\varepsilon$está en segundos de arco, y$T$es el tiempo en siglos julianos desde la época J2000.0 , JD=2451545.0, 2000-Jan-01 12:00:00 TT.

Este script de Sage/Python obtiene los datos necesarios de Horizons, los convierte a RA (en grados) y traza los resultados como un gráfico. Elegí el intervalo de tiempo

Desde: 2453908.5 AD 2006-Jun-22 00:00:00
Hasta: 2460684.5 AD 2025-Ene-09 00:00:00
con pasos de tiempo de 7 días porque es un ciclo de precesión casi completo.

Como puede ver, la ascensión recta del nodo cubre el rango completo de 0° a 360°.

Aquí está el gráfico correspondiente de la declinación.

---

Puede usar fácilmente el script para crear gráficos que cubran otros intervalos: Horizons puede proporcionar los datos necesarios para cualquier intervalo de tiempo desde 9999 a. C. hasta 9999 d. C. Sin embargo, la fórmula de la oblicuidad probablemente no sea válida en los extremos de ese rango.

---

Aquí hay una nueva versión de mi secuencia de comandos interactiva del plano de la órbita que hace que sea más fácil ver que la RA de la Luna está cerca de 0 ° cuando su declinación es 0 ° (y va de sur a norte del ecuador celeste). Al establecer la equatorialcasilla de verificación, el sistema gira de modo que el plano ecuatorial sea horizontal.