¿Por qué una bailarina acelera cuando tira de sus brazos?

Question

¿Por qué una bailarina acelera cuando tira de sus brazos?

steve marrero

Mi amigo cree que es porque tiene menos resistencia al aire, pero no estoy seguro.

Respuestas (5)

¿Por qué una bailarina acelera cuando tira de sus brazos?

Marcos Eichenlaub · Answer 1

Esta es una respuesta bastante larga, pero pensé que sería divertido analizar al patinador pensando únicamente en las fuerzas. El impulso angular aparece al final, cuando aparece inevitablemente. Daré una respuesta cualitativa que describe las fuerzas en el sistema y cómo causan el giro, luego una respuesta cuantitativa para calcular la velocidad de giro.

Respuesta cualitativa

Cuando una patinadora sobre hielo retrae sus brazos y piernas, sus brazos y piernas ejercen una torsión sobre su cuerpo, lo que hace que gire más rápido.

Pon un plato frente a ti. Intente empujar en varios lugares y en varias direcciones. Puedes imaginar una flecha apuntando en la dirección de la fuerza, comenzando desde el punto donde estás empujando. Si esta flecha apunta hacia el centro de la placa, la placa no girará. De lo contrario, lo hará.

texto alternativo

En esta imagen, las flechas rojas indican fuerzas sobre la placa gris. La fuerza etiquetada como "Girar" inducirá algo de giro en la placa (además de acelerarla como un todo) porque la línea punteada "j" de esa fuerza no pasa por el centro de la placa. La fuerza etiquetada como "NoSpin" solo acelerará la placa y no provocará ningún giro porque se encuentra en una línea que pasa por el centro de la placa.

No hay nada especial en la placa circular de este ejemplo. Cualquier otra forma también funcionaría, pero necesitaría definir el punto central por el centro de masa .

Para ver que la patinadora gira hacia arriba cuando tira de sus brazos, necesitaremos encontrar las fuerzas ejercidas sobre su cuerpo mientras tira de sus brazos. Entonces podemos ver si estas fuerzas apuntan directamente hacia el centro de su cuerpo o no. .

Modelaremos un patinador sobre hielo como un círculo de masa. $M$ con un palo sin masa apuntando a través de él, y dos círculos más de masa $m$ en cualquier extremo del palo. La patinadora puede mover los círculos pequeños hacia adentro o hacia afuera mientras gira. Aquí hay una imagen de la configuración, junto con el camino que trazan sus "brazos" (los círculos pequeños) si no los jala mientras gira.

texto alternativo

Si te imaginas sosteniendo algo pesado en tus brazos mientras giras, tus brazos se sentirían como si estuvieran siendo arrancados de sus órbitas. De hecho, lo son. Tus brazos ejercen una fuerza sobre las pesas directamente hacia adentro, hacia tu cuerpo, y las pesas ejercen una fuerza igual y opuesta directamente hacia afuera.

texto alternativo

Cada fuerza está codificada por colores según el cuerpo sobre el que actúa. $F_1$ , por ejemplo, es la fuerza ejercida sobre el patinador por el brazo rojo. (Esta fuerza se ejerce realmente sobre el palo, que está rígidamente unido al patinador).

Ambas fuerzas azules se encuentran en una línea que pasa por el centro del patinador, por lo que la velocidad de giro del patinador no cambia en este escenario. Mientras deje los brazos extendidos, seguirá girando a la misma velocidad (despreciando la fricción u otras pérdidas de energía).

Ahora imaginamos a la patinadora tirando de sus brazos. Si observas el camino que trazan los "brazos" (pequeños círculos), ves una forma de espiral.

texto alternativo

Aquí, mostramos los dos brazos con sus trayectorias pasadas y futuras trazadas. Los brazos giran alrededor del patinador mientras que simultáneamente se tira hacia adentro.

Será más difícil encontrar las fuerzas involucradas aquí. Los brazos ya no se mueven en círculos simples. Sin embargo, en cualquier instante dado, hay un círculo particular a lo largo del cual parece moverse un brazo dado. Este es el círculo osculador . Como antes, hay una fuerza en el brazo que apunta hacia el centro del círculo osculador.

Esta no es toda la historia, porque ya no podemos asumir que la velocidad de los brazos es constante. Por lo tanto, también puede haber una fuerza sobre los brazos en la dirección de su movimiento. En la siguiente imagen, dibujaremos solo las fuerzas en un brazo, solo para evitar que las cosas se desordenen demasiado.

texto alternativo

Esta imagen está ampliada en un brazo. El círculo azul sigue siendo el patinador. El círculo verde es el círculo osculador. $F_r$ es la fuerza centrípeta hacia el centro del círculo osculador que curva la trayectoria del brazo, y $F_t$ es una (pequeña) fuerza tangencial en la dirección del movimiento que acelera el brazo hacia arriba.

Sin saber qué tan rápido se mueven los brazos, cuánto aceleran y la ecuación que describe su trayectoria, es difícil saber con precisión cuáles serán los tamaños de estas fuerzas. Sin embargo, podemos ver que las fuerzas en general ya no tienen la obligación de apuntar hacia el centro del patinador. Puede cambiar su velocidad de giro porque las fuerzas no necesariamente se encuentran en líneas que pasan por su centro.

Para ver cuáles son estas fuerzas, necesitamos hacer un análisis cuantitativo.

Respuesta cuantitativa

El plan de esta respuesta es encontrar las fuerzas sobre los brazos a medida que giran en espiral, luego usar la tercera ley de Newton para encontrar las fuerzas que ejercen los brazos sobre el palo. A continuación, relacionaremos estas fuerzas con la tasa de cambio de la energía del patinador. La energía de la patinadora también se puede calcular directamente a partir de su movimiento, así que haremos eso, tomaremos una derivada del tiempo y compararemos con nuestra expresión anterior. Esto revelará una cantidad conservada, el momento angular, que nos permite encontrar la tasa de rotación de la patinadora en función de las condiciones iniciales y la distancia final de los brazos desde su centro: los detalles de la forma de la espiral y qué tan rápido la los brazos están metidos no importa. Finalmente, veremos que la patinadora gira cada vez más rápido a medida que encoge los brazos.

Usaremos coordenadas polares para describir las posiciones de los brazos. la coordenada radial $r$ del brazo 1 es alguna función de su coordenada angular $\theta$ .

r = F (θ)

$r = f(\theta)$

con la definición $\omega = \dot{\theta}$ , tenemos

\dot{r} = F^{'} ω

$\dot{r} = f'\omega$

\ddot{r} = F^{″} ω^{2} + F^{'} \dot{ω}

$\ddot{r} = f''\omega^2 + f'\dot{\omega}$

La aceleración en coordenadas polares es

\vec{a} = \hat{r} (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) + \hat{θ} (2 \dot{r} {\dot{θ}}^{2} + r \dot{ω})

$\vec{a} = \hat{r}(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) + \hat{\theta}(2\dot{r}\dot{\theta} ^2 + r\dot{\omega})$

La fuerza sobre este brazo viene dada por la segunda ley de Newton, $\vec{F} = m\vec{a}$ . La fuerza que ejerce el brazo sobre el palo es el negativo de ésta, por la tercera ley de Newton. Esta fuerza del brazo sobre el palo es lo que nos interesa.

A medida que el palo gira, la fuerza del brazo sobre el palo hace trabajo sobre el palo, lo que se convierte en la energía cinética del patinador (el palo en sí no tiene masa). La velocidad del punto del palo donde se aplica la fuerza es $\vec{v} = f\omega\hat{\theta}$ . La potencia entregada por esta fuerza, duplicada para incluir el trabajo realizado por el otro brazo, es

PAGS = \vec{F} \cdot \vec{v} = - 2 metro ω F (2 F^{'} ω^{2} + F \dot{ω})

$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = -2m\omega f(2f'\omega^2 + f\dot{\omega})$

Esta es la tasa de cambio de la energía cinética del patinador. Esa energía cinética es

T = \frac{1}{2} METRO (R ω)^{2}

$T = \frac{1}{2}M (R \omega)^2$

con $R$ el radio del patinador. Si igualamos la potencia a la derivada temporal de la energía cinética, obtenemos

METRO R^{2} \dot{ω} = - 2 metro F (2 F^{'} ω^{2} + F \dot{ω})

$MR^2\dot{\omega} = -2mf(2f'\omega^2 + f\dot{\omega})$

Si miras esto y te rascas la cabeza un momento, es matemáticamente equivalente a

\frac{d}{d t} (ω (METRO R^{2} + 2 metro F^{2})) = 0

$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(\omega(MR^2 + 2mf^2)\right) = 0$

Esto significa que hemos descubierto algo que no cambia con el tiempo: una cantidad conservada. Se llama momento angular y la parte $MR^2 + 2mf^2$ se llama momento de inercia . Denotamos el momento angular por $L$ y (regresando de $f$ a $r$ ) escribe

L = ω (METRO R^{2} + 2 metro r^{2})

$L = \omega(MR^2 + 2mr^2)$

Porque $L$ es una constante, podemos encontrar $\omega$ .

ω = \frac{L}{METRO R^{2} + 2 metro r^{2}}

$\omega = \frac{L}{MR^2 + 2mr^2}$

Tenemos la frecuencia angular en función de $r$ solamente - la forma de función precisa de $f$ No importaba, y tampoco lo rápido que atravesamos el camino. Mientras sepamos $L$ a partir de las condiciones iniciales, hemos resuelto el problema.

De

\frac{d ω}{d r} = \frac{- 4 metro L r}{(METRO R^{2} + 2 metro r^{2})^{2}}

$\frac{\textrm{d}\omega}{\textrm{d}r} = \frac{-4m L r}{(MR^2+2mr^2)^2}$

vemos que, suponiendo $L$ es positivo, como $r$ baja, $\omega$ sube, por lo que la patinadora va cada vez más rápido a medida que tira de sus brazos.

Sí, estaba considerando mencionar esto a mis alumnos como una explicación de por qué W = Fd funciona para aumentar su KE cuando tira de esos brazos.
Tal vez de 19 a 65. Por lo general, están trabajando en títulos de 2 años en dibujo o técnico en electrónica. Enseñarles física es una experiencia humillante.

joe fitzsimons · Answer 2

No, es causado por la conservación del momento angular. Reducir la resistencia del aire no hará que ella (o cualquier otra cosa) acelere sin una fuerza externa.

Como momento lineal ( $m v$ ), momento angular ( $r \times mv$ ) es una cantidad conservada, donde $r$ es el vector desde el centro de rotación. Para una patinadora que mantiene una pose estática, para cada partícula que forma su cuerpo, la contribución en magnitud al momento angular total está dada por $m_i r_i v_i$ . Por lo tanto traer en sus brazos reduce $r_i$ por esas partículas. Para conservar el momento angular, entonces hay un aumento en la velocidad angular.

Espero que esto responda a su pregunta.

Motl de Luboš · Answer 3

La respuesta de Joe es, por supuesto, correcta y le di +1. Sin embargo, permítanme decir algunas cosas ligeramente complementarias.

Siempre que las leyes de la física no dependan de la orientación en el espacio, se conserva un número conocido como momento angular. Para un cuerpo giratorio, incluido el cuerpo de una dama, el momento angular $J$ puede escribirse como el producto del momento de inercia $I$ y la frecuencia angular $\omega$ (el número de revoluciones por segundo, multiplicado por $2\pi=6.28$ ):

j = yo ω

$J = I \omega$ El momento de inercia

I

$I$ es aproximadamente igual a

yo = METRO R^{2}

$I = MR^2$ dónde

M

$M$ es la masa y

R

$R$ es igual a la distancia media ponderada de los átomos (ponderada por la masa) desde el eje. (Más precisamente, necesito calcular el promedio

R^{2}

$R^2$ .)

texto alternativo

Depende de ti si gira en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario.

Entonces, si la bailarina tira de sus brazos, se acerca al eje y $R$ disminuye su masa $M$ no cambia sino el momento de inercia $I$ disminuye también. Porque $J=I\omega$ hay que conservarlo y $I$ disminuido, $\omega$ inevitablemente aumenta.

También puede explicar el aumento de la frecuencia angular de la rotación en términos de fuerzas y momentos de torsión. Si los brazos se acercan al eje, ejercen un torque sobre la bailarina que la acelera. Necesitaría algunos productos cruzados aquí, pero me temo que no se apreciarían por completo.

Estos temas también fueron discutidos aquí:

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Saludos LM

Como nota al margen con respecto a la nueva imagen de la bailarina, parece que hay una respuesta correcta y una incorrecta, ya que la imagen parece usar perspectiva en lugar de una proyección paralela.
Ja, he visto esta imagen tantas veces... cada vez estoy seguro de que gira en el sentido de las agujas del reloj. ¿Es incluso posible argumentar que está girando hacia el otro lado?
Solo una corrección: \omega es en realidad la velocidad angular en este contexto.
@codeMonk: la velocidad angular es el vector; él solo está usando la magnitud de la misma (frecuencia angular) aquí.
@Noldorin: podrías resolverlo de una vez por todas deteniéndolo cuando ella tenga el pie del lado izquierdo de la imagen elevado y apuntando directamente hacia ti, y midiendo el grosor mínimo del tobillo, y luego haciendo lo mismo una vez ella ha girado 180 grados. Eso te daría la respuesta definitiva.
Mmm. Pero no veo cómo es posible que la animación la represente girando en sentido contrario a las agujas del reloj.
@Noldorin: el momento angular es una cantidad vectorial; tanto la magnitud como la dirección se conservan, por lo que es necesario utilizar la velocidad angular frente a la frecuencia angular.
@Noldorin: Puedo hacer que la imagen vaya de la forma que yo quiera. Incluso pocas veces cw. entonces algunas veces ccw. o incluso simplemente oscilar con medias vueltas. Todo está en el cerebro porque la animación no contiene suficiente información. Pero @Joe tiene razón en que podría ser posible medirlo microscópicamente. Sin embargo, el cerebro ignora por completo estos detalles microscópicos. Y por cierto, no eres la primera persona que solo pudo verlo girar de una manera, algunos de mis amigos también tuvieron el mismo problema. Pero luego, con la práctica, también pudieron ver que iba en sentido contrario :)
@Marek: Sí, esto significa que cierta mitad de tu cerebro es dominante, creo. En mi caso creo que es la mitad derecha!
Además, seguramente uno puede rastrear la posición de su mano izquierda, por ejemplo, y representará el lugar geométrico de un círculo en el espacio 3D. A partir de esto, está claro que el punto está orbitando en el sentido de las agujas del reloj. ¿seguramente?
@Noldorin: piensa en cómo se vería ese círculo si estuviera en un plano que se cruza con tus ojos. ¡Sería una línea! Entonces seguramente no podría distinguir la rotación de la oscilación pura. Si inclina ese círculo, su cerebro lo interpretará como una verdadera rotación porque pensará en una dirección como "hacia atrás" y la segunda "hacia adelante" y esperará que estos dos movimientos cambien periódicamente por un objeto giratorio. Pero con el entrenamiento puedes obligar al cerebro a dar cualquier interpretación al movimiento que sale de un lado, no solo el natural.
@Marek: Ah, ahora veo exactamente lo que quieres decir. Gracias por la explicación. De un vistazo, parecía que su pie viajaba en una elipse (cuando se proyecta en el plano 2D), pero en realidad es simplemente una línea. De hecho, esto no distingue entre la dirección de rotación. Sin embargo, ¿la cabeza no resuelve el asunto? es decir, el hecho de que uno vea su nariz/ojos/pelo aparecer gradualmente desde el lado derecho, ¿no sugiere una rotación en el sentido de las agujas del reloj?
@Noldorin: lo único por lo que podría distinguir la rotación además de los colores y la textura (que están ausentes aquí) es la profundidad. Pero los cambios relativos en la distancia son demasiado pequeños aquí y de todos modos no se ven los cambios más grandes porque están ocultos por el cuerpo. En cuanto a la nariz/los ojos, eso es nuevamente una cuestión de interpretación. Para CCW. rotación los ve aparecer desde el lado izquierdo.

Sklivvz · Answer 4

Sklivvz

Una explicación muy simple es la siguiente: los brazos de la bailarina son empujados hacia afuera por la fuerza centrípeta que experimenta al girar. Cuando retrae los brazos, está haciendo algo más que contrarrestar esta fuerza y esto es lo que hace que gire más rápido.

Esto se debe a que la velocidad de giro está relacionada con el esfuerzo que hace la bailarina al tirar de sus brazos. Cuanto más cerca estén los brazos, más fuerza tendrá que usar para tirar de ellos en el futuro o mantenerlos en posición, y más rápido girará.

@kake Mark tiene la respuesta completa.

MarcosJB · Answer 5

Sí, el patinador aumenta el momento angular al realizar trabajo; tirando de sus brazos hacia adentro. Trabajas en un columpio (sentado hacia arriba y hacia abajo) para aumentar tu momento angular de la misma manera.

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