Si la inducción electromagnética genera una diferencia de potencial en un bucle, ¿dónde están los potenciales "alto" y "bajo"?

Un campo vectorial debe tener ciertas propiedades para que podamos definir un potencial escalar para él. En particular, un campo vectorial$\vec{F}$debe tener un rizo que desaparece:$\nabla \times \vec{F} = 0$(así como un par de otras condiciones que también obedece el campo electrostático). Sin embargo, esa es exactamente la condición que la ley de Faraday dice que no se aplica en presencia de un campo magnético variable en el tiempo :

Sin embargo, eso no significa el fin de la conservación de la energía, porque no se requiere tener un potencial para conservar la energía. Se requiere tener un potencial para que la energía de una configuración sea independiente de cómo se logró la configuración. Básicamente, esto significa que la conservación de energía está bien, pero en estos casos se ha eliminado una herramienta importante de su conjunto de herramientas de resolución de problemas. ::suspiro::

La respuesta de Cem explica cómo comprender el comportamiento de los circuitos cuando hay campos magnéticos que varían en el tiempo , pero si tiene un movimiento libre de cargas a través del espacio, las cosas se complican bastante rápidamente.

Entonces, una pregunta interesante aquí es: 'Entonces, ¿por qué la gente dice que "hace una diferencia potencial en un ciclo" si no hay realmente una función potencial?!?' .

Esa es una muy buena pregunta y me alegra que la hayas hecho.

Realmente desearía tener una buena respuesta, pero creo que es una cuestión de lenguaje descuidado y/o uso poco riguroso. Si nos restringimos a cualquier segmento de cable no cerrado, podemos ignorar alegremente la incapacidad de construir una verdadera función potencial global y construir una que funcione lo suficientemente bien en el espacio que nos interesa. Eso es básicamente lo que cem sugiere, y para muchos propósitos funcionará bien.

Me gustaría agregar a la respuesta de dmckee: tiene toda la razón: las personas usan un lenguaje muy descuidado y, en problemas como este, ese lenguaje puede arruinar su cabeza. Su resumen conciso de por qué no se viola la conservación de energía no puede ser mejorado. Por supuesto, de lo que habla la gente cuando dice que hay un EMF de$V$voltios alrededor de un bucle$\Gamma$es eso$\oint_\Gamma \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = V$y como la diferencia de potencial$\Delta V$entre dos puntos$A$y$B$en un campo conservativo es independiente del camino y está dado por$\Delta V = \int_A^B \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$, la gente hace una analogía aproximada (y en general incorrecta, en la forma en que lo muestra dmckee) entre estas dos integrales de aspecto similar. Pero hay dos razones particulares por las que la gente hace esto.

1. Funciones potenciales aproximadas fuera de los campos magnéticos de soporte compacto

A veces, de hecho, podemos definir un potencial con un comportamiento de ramificación y los puntos de potencial "bajo" y "alto" pueden ser muchos pares diferentes: están definidos por una "convención" que equivale a la ubicación de un "corte de rama" y tenemos libertad considerable en la ubicación de este corte como estoy a punto de explicar. Supongamos que tenemos un campo magnético$\mathbf{H}(\mathbf{r})$apuntando a la página y bien confinado a alguna región compacta, digamos el disco sombreado oscuro$\mathcal{M}$en mi dibujo de abajo. Por ejemplo, podría ser la sección transversal de un circuito magnético de alta permeabilidad en un motor o transformador. Supongamos además que la frecuencia es baja en el sentido de que la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones del sistema en consideración, entonces el término de corriente de desplazamiento en la ley de Ampère puede despreciarse, por lo que el flujo magnético total a través del bucle cambia de manera insignificante por la variación del tiempo. campo eléctrico que produce el flujo variable en el tiempo. Entonces, fuera de la región sombreada tenemos$\nabla \wedge \mathbf{E} = \mathbf{0}$de modo que el campo eléctrico puede ser representado por un potencial$\phi_E$: por el teorema de Stokes,$\oint_\Gamma \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 0$así que eso$\Delta V(A,B) = \int_A^B \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$, donde$\Gamma = \partial \Sigma$es un límite suave por partes de cualquier región simplemente conexa$\Sigma$afuera$\mathcal{M}$, es esencialmente independiente del camino entre$A$y$B$: dos caminos que unen$A$y$B$dar el mismo valor para$\Delta V(A,B)$ siempre que uno pueda deformarse continuamente en el otro sin pasar por el campo magnético ; Dicho de manera más precisa: siempre que los dos caminos pertenezcan a la misma clase de homotopía con respecto a la región multiconexa$\mathbb{R}^2 \sim \mathcal{M}$(es decir, el avión con un agujero), o dicho de manera más intuitiva: siempre que el bucle formado por los dos caminos no se enrolle$\mathcal{M}$. Entonces podemos definir una función potencial eligiendo cualquier punto punto fijo$A$afuera$\mathcal{M}$y definiendo$V(B) = \int_A^{\mathbf{r}_0} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$con la salvedad adicional de que el camino que une$A$y$B$debe "permanecer en el mismo lado de$\mathcal{M}$como$A$: la forma en que hacemos esta condición precisa es tal como lo hacemos con funciones complejas que son holomorfas en todas partes excepto en algún punto de bifurcación: definimos un "Corte de rama" que une el origen al infinito con el fin de que nuestro camino defina$V(B)$no debe pasar por el corte de la rama. He mostrado un posible corte de rama como la línea punteada (el positivo$x$-eje). No importa ni donde$A$no es ni el corte exacto de la rama, siempre que los dos permanezcan iguales en cualquier discusión. Una vez que hagamos esto,$V(\mathcal{r})$está definida de forma única y, de hecho,$\mathbf{E}(\mathcal{r}) = \nabla V(\mathcal{r})$. Este potencial es como cualquier otro potencial electrostático normal aparte de su comportamiento de ramificación: al pensar en el gran camino$\Theta$es fácil ver que la diferencia de potencial entre cualquier par de puntos fuera$\mathcal{M}$inmediatamente a cada lado de la rama cortada ( p. ej . $P_1$y$P_5$o$P_2$y$P_4$) no depende de la elección de los puntos es$\mathcal{E} = \mathrm{d}_t \,\left(\int\int_\mathcal{M} \mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{z}} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\right)$, o lo que la gente llama "fuerza electromotriz" o "voltaje" alrededor del circuito. No importa dónde esté el corte de la rama, por lo que los puntos de potencial "alto" y "bajo" en la redacción de su pregunta pueden ser cualquier par como$P_1$y$P_5$a cada lado de cualquier corte de rama definido consistentemente. La analogía con las funciones holomorfas de una variable compleja puede hacerse aún más completa: supongamos en este caso que$\mathcal{M}$es un disco circular centrado en el origen, entonces el potencial complejo es$\Psi(\zeta) = - i \frac{\mathcal{E}}{2 \pi} \log \zeta$donde$\zeta = x + i y$, el verdadero potencial cotidiano es$V(\zeta) = \operatorname{Re}(\Psi(\zeta))$, el campo eléctrico en$\zeta$, tanto en magnitud como en dirección, está representado por el número complejo$(\mathrm{d}_\zeta \Psi)^*$y la fuerza electromotriz alrededor de la espira$\mathcal{E}$es$\mathcal{E}=\oint_C \Psi(\zeta) \,\mathrm{d}\zeta$para cualquier bucle que contenga$\mathcal{M}$. Para cualquier región de forma arbitraria$\mathcal{M}$donde el campo magnético atraviesa la página y es ortogonal a la página, se puede definir un potencial complejo correspondiente (por el teorema de mapeo de Riemann).

2. El Análisis de Máquinas Eléctricas, particularmente Generadores

Ahora imaginamos nuestro bucle con EMF$\mathcal{E}=\mathrm{d}_t \,\left(\int\int_\mathcal{M} \mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{z}} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\right)$alrededor. Entonces podríamos imaginar un bucle de alambre$\Gamma_2$enrollado alrededor del flujo magnético como en el dibujo a continuación y llevado a un par cercano$P$para que el par pueda salir de la región inmersa en campos magnéticos y conectarse a una carga remota: en la parte superior del dibujo lo he imaginado como un condensador. Además, el voltaje a través de las placas del capacitor es$\mathcal{E}$, el campo electrostático dentro del capacitor es un campo genuinamente electrostático con un potencial eléctrico bien definido (ahora sin cortes de rama y las placas del capacitor son superficies equipotenciales. Observe cómo para que esta interpretación funcione, el campo magnético no tiene que estar confinado estrechamente dentro de él como lo fue para los ejemplos anteriores: puede haber un campo magnético a su alrededor. El único requisito es que el par se escape a un circuito exterior donde el campo magnético no tiene influencia. La carga, por supuesto, no tiene ser un condensador: podría ser cualquier circuito eléctrico que forma una carga de impedancia general$Z$. Así que ahora la FEM es la diferencia de potencial entre los polos de la fuente de voltaje ideal que usamos para representar el generador, y la FEM del lazo ha tomado el significado del ingeniero eléctrico de fuente de voltaje en un circuito general. Lo que me lleva a una última interpretación del EMF que podría ayudarte a visualizar cosas. Imagine que el circuito del condensador se encoge de modo que el condensador está dentro de la región influenciada por el campo magnético y, por lo tanto, tenemos un bucle que sale directamente de los terminales del condensador. De manera equivalente, podríamos imaginar que el bucle es un anillo dividido donde los dos extremos del anillo dividido se acercan mucho. Esto es lo que obtendríamos si la capacitancia del capacitor fuera muy pequeña, de modo que incluso las cargas más pequeñas en sus placas generen voltajes enormes. ¿Qué pasaría en tal caso? Bien, por supuesto, no podría fluir una corriente, porque el anillo está dividido. ¿Por qué? El EMF hace que las cargas se acumulen a ambos lados de la división hasta que el campo electrostático que surge de las cargas se opone al EMF, y la corriente no fluye (o al menos lo hace muy poco, hay un pequeño goteo en cada ciclo de CA para volver). -arreglar los cargos para oponerse a la FEM). Con un poco de reflexión, puede comprender que la diferencia de potencial que surge de las cargas que se acumulan en la división es precisamente la EMF.$\mathcal{E} = \mathrm{d}_t \,\left(\int\int_\mathcal{M} \mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{z}} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\right)$. Los puntos de bajo y alto potencial son entonces los potenciales de placa del condensador, que desempeña el papel de un corte de rama física.

Piense en un circuito en forma de bucle con una sola rama formando un círculo, con resistencias en él. Puede aplicar la fem (que es básicamente una fuente de voltaje) en cualquier punto de la rama, o distribuirla de cualquier forma a lo largo de la rama, y ​​el resultado no cambiaría. Entonces, para simplificar, puede asumir una fuente de voltaje en cualquier punto del bucle y doblar su terminal negativo como tierra.

La inducción electromagnética se explica a través de la teoría del circuito magnético, que es la base de los transformadores, y funciona a través del acoplamiento inductivo. Generalmente, un elemento activo (como un generador) está a un lado del acoplamiento inductivo, y dependiendo de las propiedades del acoplamiento inductivo, un cierto porcentaje de potencia se transfiere al otro lado, y el resto se pierde de ciertas maneras ( flujo de fuga, no idealidad del material, etc.). Por lo tanto, es consistente con la conservación de la energía, ya que la potencia la suministra el lado que emite el campo magnético.

Esa es una vieja paradoja. La forma en que me gusta pensar en ello es la siguiente. Imagine un bucle con muchas celdas pequeñas en serie (la fem de cada una proviene de la fem local de la inducción magnética) con muchas resistencias pequeñas que pueden representar la pequeña resistencia del cable de un bucle. ¡Tenemos la misma paradoja! Lo cual no es una paradoja en realidad. Podríamos imaginar la fem total como la suma de todas las celdas en serie. Pero entonces podemos pensar ¿dónde sube y baja el voltaje? En el límite de celdas pequeñas y resistencias pequeñas que mantienen la suma constante, está claro que solo tiene pequeños movimientos alrededor de cero. Lo mismo ocurre con la fem inducida en el bucle al cambiar el flujo magnético. El voltaje de la fem se distribuye en bits por todo el bucle, por lo que cada trozo de cable actúa como una celda diminuta. A medida que avanzamos, la fem acumula un poco de voltaje, pero luego se desperdicia en la resistencia en el bucle (o en la fem inversa si desea volverse superconductor). Lo mejor es resolver el caso de resistencia finita primero, en mi opinión. Espero que eso ayude a dar una idea... seguro que me preocupó. Si elimina el cable y solo pregunta sobre una región vacía del espacio, me temo que hablar de voltajes es realmente horrible porque es como energía potencial (por coulomb) y no es un campo de fuerza conservativo, por lo que no puede definir correctamente un solo voltaje valorado, pero es posible que pueda dejar que siga subiendo a medida que avanza y tiene valores múltiples extraños según las coordenadas. Correctamente en la exposición de Maxwells, el voltaje debe ser constante y el campo eléctrico es fem por metro de circunferencia que ingresa a través del potencial del vector magnético relacionado con el flujo magnético.