Importancia de matar campos vectoriales

En términos de la relatividad general clásica: las ecuaciones de Einstein

Dada una simetría continua (garantizada por un campo vectorial Killing), uno tiene herramientas y trucos que puede usar para ayudar a resolver las PDE.

• El teorema de Noether nos dice que para la ecuación de Einstein (que admite una formulación lagrangiana), asociada a cada campo vectorial Killing$X^a$es una ley de conservación. Uno puede simplemente ver esto considerando el actual

  $$J^{(X)}_a = T_{ab} X^b$$ Su divergencia es $$\nabla^a J^{(X)}_a = \nabla^a T_{ab} X^b + T_{ab} \nabla^a X^b$$ El primer término se anula ya que el tensor de impulso de energía no tiene divergencias. Usando que el tensor de energía-momento es simétrico, escribimos $$\nabla^a J^{(X)}_a = \frac12 T_{ab} \left( \nabla^a X^b + \nabla^b X^a\right)$$ Como consecuencia de las ecuaciones de Killing, si$X^a$es un campo de muerte, el término dentro del paréntesis se evalúa como 0. Entonces$J^{(X)}$está libre de divergencias. Aplicando el teorema de Stokes vemos entonces una ley de conservación.

• Reducción de simetría: dada una simetría continua para una EDP, podemos intentar realizar una reducción de simetría de las ecuaciones. Esto reduce el número de variables independientes para la PDE y, a menudo, facilita ver una solución exacta (o examinar las características de las soluciones simétricas). Para ver una encuesta sobre cómo puede ayudar la simetría, recomiendo consultar Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein de Stephani et al (Cambridge University Press). Los capítulos 8, 9, 10 y toda la Parte II de ese libro abordan el uso de grupos de simetría para ayudar a resolver las ecuaciones de Einstein.

La aplicación del teorema de Stokes en este caso es ligeramente indirecta, ya que la última ecuación contiene derivada covariante en oposición a la derivada parcial sobre una coordenada en la ley de conservación estándar. Esto no es un problema, sin embargo, porque