Campo magnético de una carga puntual en movimiento

Recuerde que la superposición es válida para los campos eléctrico y magnético. Es decir, puede calcularlos individualmente y luego sumar sus campos para obtener el campo en cualquier punto.

Para la carga en movimiento,$q_1$, el campo magnético es 0 en su marco pero aumentando al marco co-móvil, tenemos

$$\mathbf{B}_{q_1}=\gamma\frac{\boldsymbol{\beta}\times\mathbf{E}}{c}=\gamma q_1\frac{\boldsymbol{\beta}\times\hat{\mathbf{r}}}{4\pi\epsilon_0cr^2}$$ dónde $\gamma$es el factor de Lorentz normal , y $\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c$es la velocidad (reducida) de la partícula en el marco del laboratorio (tenga en cuenta que la ecuación anterior se reduce a la ley de Biot-Savart para $\gamma\approx1$). Dado que, en el marco del laboratorio, el campo magnético de la carga estacionaria, $q_2$, es 0, entonces el campo magnético total viene dado por $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{q_1}$.

En el caso del marco co-móvil, como se indicó, el campo magnético es cero para$q_1$pero ahora el cargo$q_2$se está moviendo (en la dirección opuesta) y obtenemos el campo magnético similar:

$$\mathbf{B}=\mathbf{B}_{q_2}=\gamma q_2\frac{-\boldsymbol{\beta}\times\hat{\mathbf{r}}}{4\pi\epsilon_0cr^2}$$

Entonces, sí, habrá un campo magnético en ambos marcos porque tienes una carga en movimiento en ambos marcos.

En el primer caso, cuando solo tiene la carga de movimiento (llamémoslo$q_1$) no hay campo magnético en un marco de referencia que se mueve con$q_1$. Esto se debe a que la velocidad de la$q_1$es cero con respecto a ese marco. Supongo que ya lo entiendes.

Sin embargo, cuando agrega la segunda carga, que está inmóvil en el marco del laboratorio (llamémoslo$q_2$) ahora hay un campo magnético en el marco que se mueve con$q_1$. Este campo no proviene del movimiento de$q_1$, sin embargo. la velocidad de$q_1$sigue siendo cero. Ahora, sin embargo, la velocidad de$q_2$que es cero en el marco de laboratorio no es cero en el marco que se mueve con$q_1$. Por lo tanto, el campo magnético en el marco que se mueve con$q_1$proviene puramente del movimiento de$q_2$en relación con ese marco.

EDITAR: Me disculpo, creo que leí mal su pregunta inicialmente. Para calcular el campo magnético de un marco que se mueve con$q_1$todo lo que necesitas es la velocidad de$q_2$con respecto a ese marco, por lo que expliqué arriba (quizás ya lo sabías). Entonces el campo magnético en cierta posición es:

$$B = {\mu _0 \over 4 \pi } *{q_2 vsin(\theta) \over r^2}$$ dónde $v$es la velocidad de $q_2$en relación con su marco de movimiento, $r$es la distancia desde la carga puntual hasta el punto en el que se está midiendo el campo, y $\theta$es el ángulo entre el vector de velocidad y el vector de posición del punto en el que está midiendo el campo. Tenga en cuenta que esto solo le da la magnitud del campo. Para obtener la dirección, puede emplear la regla de la mano derecha.

Si va a este enlace y se desplaza hacia abajo hasta el capítulo 28, hay una buena imagen de esta situación. Con la carga en movimiento, los vectores de desplazamiento y velocidad, y el campo magnético en ciertos puntos.