Violación aparente de la conservación de energía en un sistema de transformador electromagnético

En primer lugar, me gustaría decir que no soy un hablante nativo de inglés, por lo que puede haber algunos errores gramaticales. Lo siento de antemano por eso!

He estado un mes entero tratando de entender qué está pasando en cierto sistema electromagnético, sin éxito. Quizá alguno de vosotros pueda arrojar algo de luz al respecto.

Imagine el siguiente sistema: Hay un transformador eléctrico 1:1 ideal. Ambas bobinas tienen inductancia L, y la inductancia mutua toma el valor$M=\sqrt{L_1 L_2}=\sqrt{L^2}=L$, ya que no hay pérdidas y todo el flujo magnético creado por cada bobina pasa por la otra.

Ahora, en ambos lados del transformador, conectamos una resistencia y un capacitor de la forma que se muestra en la imagen:

Los resistores tienen resistencia R y el capacitor tiene capacitancia C. La única diferencia entre ambos lados es que el capacitor del lado izquierdo está cargado inicialmente con Q, mientras que el del lado derecho no tiene carga inicial. Inicialmente, tampoco pasa corriente por las bobinas.

Hasta donde yo sé, la evolución temporal de la carga almacenada en los condensadores está dada por las siguientes dos ecuaciones diferenciales acopladas, donde$x_1$es la carga en el capacitor del lado izquierdo y$x_2$es la carga en el lado derecho uno, ambos como funciones del tiempo.

$$L\frac{d^2x_1(t)}{dt^2}+M\frac{d^2x_2(t)}{dt^2}+R\frac{dx_1(t)}{dt}+\frac{x_1}{C}=0$$

$$L\frac{d^2x_2(t)}{dt^2}+M\frac{d^2x_1(t)}{dt^2}+R\frac{dx_2(t)}{dt}+\frac{x_2}{C}=0$$ Con condiciones iniciales: $$\frac{dx_1}{dt}(0)=0 \ \ \ \ \ x_1(0)=Q$$ $$\frac{dx_2}{dt}(0)=0 \ \ \ \ \ x_2(0)=0$$ He comprobado estas ecuaciones una y otra vez y, sinceramente, creo que son correctas. Sin embargo, el problema surge cuando los resuelvo. He construido un modelo simulink para hacerlo, así como un código matlab usando ode45. Cuando ejecuto el script, obtengo la carga en los condensadores en función del tiempo. Tomando las primeras derivadas, obtengo la intensidad en ambos lados del transformador.

Ahora, si evalúo tanto las intensidades como las cargas almacenadas en un tiempo lo suficientemente grande desde el principio, ambas tienden a cero como se esperaba. La energía almacenada inicialmente en el condensador izquierdo se disipa en las resistencias en unos pocos ciclos. El problema es que si calculo la energía disipada, haciendo la siguiente integral:

$$U_{diss}=\int_0^\infty R \left(\frac{dx_1(t)}{dt} \right)^2 dt + \int_0^\infty R \left(\frac{dx_2(t)}{dt} \right)^2 dt$$

Obtengo un número mayor que si calculo la energía inicialmente almacenada en el capacitor. Esto significaría que de alguna manera el circuito disipó más energía por el efecto de Joule que la energía inicial almacenada en él.

Evidentemente estoy haciendo algo mal, pero no tengo ni idea de qué puede ser. Estoy completamente seguro de haber resuelto correctamente las ecuaciones diferenciales, ya que he comprobado muchas veces el método numérico utilizado. He construido varios modelos usando diferentes programas y siempre obtengo el mismo resultado, y un amigo mío que es experto en métodos numéricos para ecuaciones diferenciales también lo ha comprobado. Entonces el problema debe estar en las propias ecuaciones diferenciales, no en su solución. Pero cuanto más los reviso, más me convenzo de que tienen razón, así que no tengo idea de qué hacer.

Para mí está claro que la energía disipada para grandes valores de tiempo debe ser la energía inicialmente almacenada en los capacitores, nunca mayor.

Por favor, ayúdame con esto. Realmente necesito hacerlo bien.

Gracias de antemano por sus respuestas,

Alberto.