Ver algo caer en un agujero negro desde muy lejos

En la mecánica newtoniana, la ecuación que usas para describir la trayectoria de la partícula que cae es la habitual$F = ma$. En la Relatividad General, no debería sorprenderte que uses una ecuación más sofisticada que da la ecuación newtoniana como el límite de curvatura inferior. Esta ecuación se llama ecuación geodésica :

$$\frac{d^2x^\gamma}{dq^2} + \Gamma^\gamma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{dq} \frac{dx^\nu}{dq} = 0$$

La variable$q$parametriza la trayectoria - es proporcional al tiempo propio, es decir, el tiempo medido por la caída de la partícula. La ecuación te da$t(q)$,$r(q)$,$\theta(q)$y$\phi(q)$en cualquier sistema de coordenadas en el que desee trabajar.

Puede calcular la EOM de la partícula que cae y luego inventar una fuerza ficticia que sea una función de la distancia para hacer que funcione la ecuación de Newton, pero esto sería solo un ejercicio intelectual y no tendría ningún significado físico.

Si está interesado, la respuesta de Phil a ¿Cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general? analiza un problema similar.

Más tarde:

Con respecto a su comentario sobre la respuesta de Stan, no hay nada que se oponga físicamente al movimiento del cuerpo que cae. Lo que estás viendo es análogo a la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo que obtienes en la relatividad especial. la coordenada radial$r$se define como la circunferencia de un círculo dibujado alrededor del agujero negro dividida por$2\pi$. No es lo mismo que la longitud que medirías si dejaras caer una cinta métrica hacia el horizonte de sucesos. Así que no deberías sorprenderte de que la velocidad que obtienes al dividir$dr$por$dt$resulta un poco raro.

Para ver esto mira este diagrama:

El$dr$que está usando para calcular la velocidad es la distancia en el plano, y es inmediatamente obvio que esto no es lo mismo que la distancia adecuada ,$ds$, se obtiene integrando$dr$a lo largo de la trayectoria. Puede calcular la distancia adecuada simplemente manteniendo los otros parámetros constantes e integrando la métrica:

$$\int ds = \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 - r_s/r}}$$

Como$r_2 \rightarrow r_s$esta integral tiende a infinito. Así que tu resultado es que el cuerpo que cae tarda un tiempo infinito en moverse una distancia infinita.

Pero esto no significa que la distancia al horizonte de sucesos sea infinita más de lo que significa que el tiempo se detiene allí. Todo lo que significa es que$r$y$t$no son las cantidades simples que nosotros, los habitantes del espacio-tiempo de baja curvatura, pensamos que son.

Asumiré un agujero negro de Schwarzschild con masa$M$y coordenadas de Schwarzschild,$-+++$convención de signos y unidades de$G = c = 1$.

Como la métrica es independiente de$t$,$\partial_t$es un campo vectorial Killing, y por lo tanto para cualquier geodésica con vector tangente$u$, existe una constante de movimiento

$$\epsilon = -\partial_t\cdot u = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\tau}\text{.}$$ Similarmente, $\partial_\phi$es otro vector Killing correspondiente a la conservación del momento angular, pero para la caída libre radial no nos importa eso. Además, asumí que la geodésica es temporal y, por lo tanto, el parámetro afín puede tomarse como el tiempo adecuado. $\tau$a lo largo de ella

Junto con la condición temporal$u\cdot u = -1$, la constante de movimiento anterior implica que

$$\frac{1}{2}\dot{r}^2 - \frac{M}{r} = \frac{\epsilon^2-1}{2} = e$$ es constante, donde $e$es el análogo relativista de la energía mecánica específica de la órbita, y overdot representa la diferenciación con respecto a $\tau$. Derivando esto, obtenemos: $$\ddot{r} = -\frac{M}{r^2}\text{.}$$ Dado que en realidad queremos obtener la ecuación de movimiento con respecto al tiempo de coordenadas de Schwarzschild, $$\frac{dr}{dt} = \dot{r}\frac{d\tau}{dt}\text{,}$$ $$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{d\tau}{dt}\frac{d}{d\tau}\left[\dot{r}\frac{d\tau}{dt}\right]\text{,}$$ y todo lo que queda es tapar y traquetear.

Pero es obvio que estas cantidades van a$0$como$r\to 2M$:$\epsilon>0$si la partícula comienza en cualquier lugar fuera del horizonte, y dado que$\dot{r}$es finito se porta bien allí mientras$\frac{d\tau}{dt} = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\epsilon^{-1}\to 0$, sigue la demanda.

Como señalaron otras respuestas, puede interpretarlo como dilatación del tiempo, aumento de la distancia, aumento de la masa inercial, según el sistema de coordenadas y la terminología que utilice.

También puedo señalar que se puede interpretar como un arrastre de marcos, una fuerza gravitatoria de segundo orden.