Velocidad intragaláctica más allá del agujero negro central

Lo cerca que pasas del agujero negro es casi completamente irrelevante. La galaxia tiene solo 100 000 ly de ancho y la Tierra está a solo 25 000 ly del centro. Si los extraterrestres vienen de una dirección diametralmente opuesta a la Tierra a través del núcleo galáctico, solo 75,000 ly de su viaje de 66 millones de ly estarán dentro de nuestra galaxia, y mucho menos cerca del agujero negro supermasivo comparativamente microscópico en el centro. Eso es solo un poco más del 0,11% de su viaje, para cruzar toda la Vía Láctea.. Técnicamente, sí, si eligen hacer un pase cercano por el agujero negro central, eso contribuirá con efectos adicionales de dilatación del tiempo, pero a las velocidades que tendrías que viajar para hacer este tipo de viaje intergaláctico, solo estarán en una región donde los efectos de dilatación del tiempo del agujero negro son comparables en magnitud a los efectos relativistas especiales preexistentes durante unos pocos minutos de todo su viaje en el tiempo propio de 2000 años.

Entonces, solo necesitamos calcular su velocidad usando las fórmulas de la relatividad especial.

Si el viaje de los extraterrestres toma tiempo$\Delta t$en nuestro marco, la cantidad de tiempo que experimentan estará dada por$\Delta t\prime = \Delta t\sqrt{1 - \frac{v}{c}^2}$Mientras tanto, la distancia que se observan a sí mismos recorriendo a velocidades relativistas estará dada por$L \prime = L\sqrt{1 - \frac{v}{c}^2}$

$\Delta t\prime = 2000\ years$y$L = 66\ million\ ly$, según la descripción del problema. Además,$v = \frac{L\prime}{\Delta t\prime} = \frac{L}{\Delta t}$; es decir, la velocidad de la nave espacial es igual a la distancia recorrida dividida por el tiempo que tardó en recorrerla, en cualquier marco, porque nuestra velocidad relativa a ellos es la misma que su velocidad relativa a nosotros. Multiplicando ambos lados, podemos encontrar que$L\prime = v\Delta t\prime$, y podemos usar eso para eliminar una variable y resolver para$v$:

$v\Delta t\prime = L\sqrt{1 - \frac{v}{c}^2}$

$v^2\Delta t\prime^2 = L^2 - v^2\frac{L}{c}^2$

$v^2(\Delta t\prime^2 + \frac{L}{c}^2) = L^2$

$v = \sqrt\frac{L^2}{\Delta t\prime^2 + \frac{L}{c}^2}$

Conectando los números reales,$v = \sqrt\frac{(66\ million\ ly)^2}{(2000\ years)^2 + \frac{(66\ million \ ly)}{c}^2} = ...$algo tan cercano a$c$que incluso Wolfram Alpha no proporciona suficiente precisión para distinguirlo.

Sin embargo, con un poco de manipulación adicional podemos calcular que el factor gamma aislado ($\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v}{c}^2}}$) es 33023, y$\beta$(la velocidad como fracción de la velocidad de la luz) es 0.99999999954.

Si tiene la intención de que viajen a una velocidad de crucero más razonable, ninguna aproximación a los agujeros negros ayudará. Tratar de confiar en los efectos de la dilatación del tiempo de la relatividad general del agujero negro para comprimir el tiempo adecuado del viaje es como viajar a 60 millas por hora durante 59 millas, y luego preguntarse qué tan rápido debe recorrer la última milla para hacer su viaje. velocidad promedio de más de 60 millas igual a 100 mph (es decir, no se puede hacer). La única forma en que los efectos del agujero negro podrían importar es si desea que se detengan allí y pasen el rato durante una cantidad significativa de tiempo terrestre, mientras mantienen el tiempo de viaje subjetivo por debajo de 2000 años.

No tengo una solución; lo que sí tengo es un posible camino hacia una solución numérica.

En aras de la simplicidad y la cordura, consideraré el caso especial de un agujero negro esféricamente simétrico, sin carga y que no gira. Este agujero negro hace que el espacio tome la forma descrita por la métrica de Schwarzschild. Una pequeña partícula de prueba, que en este caso puede ser nuestra nave, obedece a las siguientes ecuaciones de movimiento relativistas generales :

$$\ddot{r}=-\frac{G\mathcal{M}}{r^2}+r\dot{\theta}^2-\frac{2G\mathcal{M}}{c^2}\dot{\theta}^2,\quad \ddot{\theta}=-\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$$ dónde$r$y$\theta$son coordenadas polares centradas en el agujero negro y$\mathcal{M}$es su masa. En términos de$t$, estamos trabajando en el marco de referencia de la nave, por lo que cuando diferenciamos con respecto al tiempo, estamos hablando del tiempo propio de la nave , en lugar del tiempo de coordenadas medido por un observador infinitamente lejos del agujero negro.

Estas dos ecuaciones son todo lo que necesitamos para determinar la trayectoria de la nave, dadas las condiciones iniciales del sistema (a saber, la masa del agujero negro y el vector de velocidad inicial de la nave). Podemos variar esas condiciones iniciales hasta obtener el resultado que queremos; dado que la nave puede acercarse arbitrariamente a la velocidad de la luz, no hay límite en la dilatación del tiempo que experimentará. Tomará mucho ensayo y error hacerlo bien, pero podemos lograrlo.

Dicho todo esto, aquí hay algunos detalles más.

¿Cómo resolvemos las ecuaciones de movimiento?

No existe una solución analítica para estas ecuaciones, por lo que tenemos que recurrir a métodos numéricos. Afortunadamente, las ecuaciones de movimiento son un par de ecuaciones diferenciales no lineales acopladas de segundo orden. Ser relativista general no los hace inherentemente más difíciles de resolver que las versiones newtonianas (aunque son ligeramente diferentes). Podemos resolverlos a través de cualquier método que desee. Aquí hay algunos que podría considerar:

• Método de Euler : esto es algo que solo querría hacer como una verificación de cordura, aunque es bastante simple de aplicar, digamos, Python, en unos minutos. Diga la posición, la velocidad y la aceleración de su nave en un momento adecuado$t$son$\mathbf{r}(t)$,$\mathbf{v}(t)$y$\mathbf{a}(\mathbf{r}(t))$. Entonces las mismas variables, a la vez$t+\Delta t$, son $$\mathbf{r}(t+\Delta t)=\mathbf{r}(t)+\mathbf{v}(t)\Delta t$$ $$\mathbf{v}(t+\Delta t)=\mathbf{v}(t)+\mathbf{a}(\mathbf{r}(t))$$ $$\mathbf{a}(t+\Delta t)=\mathbf{a}(\mathbf{r}(t+\Delta t))$$ Sin embargo, el método de Euler es relativamente inexacto en comparación con la gran cantidad de métodos numéricos a su disposición.
• Métodos de Runge-Kutta : Los métodos de Runge-Kutta son un conjunto más amplio de técnicas que tienen una precisión mucho mayor y se emplean mucho más que el método de Euler (aunque el método de Euler es un caso especial). El Runge Kutta de cuarto orden (RK4) es el más común y tampoco es demasiado difícil de aplicar, pero los métodos RK de orden superior implican errores de redondeo más pequeños .
• El método de salto : este método calcula valores temporales de posición, velocidad, etc. entre intervalos de tiempo y los utiliza para los cálculos del siguiente paso, lo que conduce a una mayor precisión que el esquema de Euler. Además, conserva energía.

Una nota a tiempo

Es simple calcular el tiempo adecuado$d\tau$medida por un barco que viaja a una velocidad$v$en algún otro marco de referencia que mide el tiempo de coordenadas$dt$, ignorando la gravedad:

$$d\tau=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ De manera similar, el tiempo propio medido por un barco a una distancia$r$del agujero negro es, ignorando el movimiento: $$d\tau=dt\sqrt{1-\frac{2G\mathcal{M}}{rc^2}}$$ Para ponerlos juntos, tienes que pensar un poco para encontrar que $$d\tau=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}-\frac{2G\mathcal{M}}{rc^2}}$$ Sin embargo, debe señalarse que estamos resolviendo las ecuaciones de movimiento en un solo marco de referencia, el de la nave, por lo que probablemente no nos importe mucho hacer esta conversión en cada punto durante la integración.

Una idea de las condiciones iniciales

Para tener una idea de dónde debemos comenzar a buscar, considere el caso de una nave que viaja 66 millones de años luz sin ninguna fuente de gravedad cercana. Esta es una excelente aproximación a la mayor parte del viaje de la nave, donde estará lejos del agujero negro y, por lo tanto, esencialmente no se verá afectado por él. Para que el tiempo propio de la nave sea de 2000 años mientras viaja 66 millones de años luz, podemos ver que$dt$debe estar cerca de los 66 millones de años, por lo que

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx\frac{2000}{66000000}\approx3.03\times10^{-5}$$ Esto implica que$v/c\approx0.9999999995408633$, una diferencia de la velocidad de la luz de menos de una parte en mil millones.