Velocidad de caída en supernovas de colapso del núcleo

Es posible que desee consultar "Estructura estelar y evolución" de Kippenhahn, Weigert y Weiss. El párrafo 36.3.1 "Soluciones simples de colapso" contiene justo lo que está buscando. En particular, la figura 36.5 muestra el perfil de velocidad en función de la coordenada de masa radial. He reproducido la figura aquí:

El razonamiento es más o menos el siguiente: puede modelar el núcleo colapsado como un gas degenerado relativista con ecuación de estado

También necesitas la ecuación de continuidad de masa.

Si define un factor de escala$a$y una coordenada radial$z$tal que$r=a(t)z$, puede ver que el sistema de ecuaciones se desacopla en una ecuación para$a(t)$que se pueden integrar fácilmente, y una ecuación para$\rho(z)$:

Que es muy similar a la ecuación de Lane-Emden. Aquí$w(z)$se define tal que$\rho(z) = \rho_c w^3(z)$, como en Lane-Emden. El parámetro$\lambda$es una constante que mide de alguna manera la desviación del equilibrio hidrostático. De hecho, si$\lambda = 0$, se obtiene la ecuación de equilibrio de Lane-Emden.

Al igual que la ecuación de Lane-Emden, esta ecuación admite soluciones sólo hasta una masa total$M<M_{c}$, dónde$M_c$no es mucho más alta que la masa de Chandrasekhar.

El resultado es que si la masa del núcleo que colapsa es mayor que$M_c$, todo el núcleo no puede ser descrito por la solución de la ecuación. La parte interna del núcleo, hasta$M_c$seguirá la ecuación esbozada y por lo tanto caerá homólogamente con$v_r = \frac{\dot{a}}{a}r$: la velocidad radial es mayor cuanto más lejos del centro. La parte externa del núcleo, no descrita por la ecuación, estará casi en caída libre.

Además, la masa de Chandrasekhar es proporcional a$\mu_e^{-2}$. Pero los electrones son capturados durante el colapso, por lo tanto$\mu_e$aumenta y$M_{c}$disminuye Esto significa que durante el colapso se encogerá la parte del núcleo que colapsa homólogamente.

Esto fue solo un resumen del proceso, si desea obtener más detalles, le recomiendo encarecidamente que eche un vistazo a Kippenhahn.

tl; dr: La parte interna del núcleo colapsa homólogamente con$v \propto r$, mientras que la parte exterior está casi en caída libre con$v \propto r^{-1/2}$

Infall supersónico y algunas referencias más

Impulsado por el comentario de Lekha, he encontrado más referencias sobre el tema. Kippenhahn(1) basa su argumento en Goldreich(3) y Yahil(4)(5). La figura proviene en cambio de Müller(2).

Siguiendo a Yahil(4), dado que la velocidad de caída no puede exceder la velocidad de caída libre$v_{ff} \approx \sqrt{\frac{2Gm}{r}}$, la masa de la parte interna del núcleo se puede determinar encontrando dónde la velocidad de colapso homólogo$v \propto r$es igual$v_{ff}$. Cálculos numéricos muestran que en la parte exterior$\rho r^3 = const$. Razonando a grandes rasgos, esto significa que$m(r) \sim log(r)$y$v_{ff} \sim \rho^{1/6}$. Pero también la velocidad del sonido va como$c_s = {\partial P \over \partial \rho} \sim \rho^{1/6}$, por lo tanto$\frac{v}{c_s} \approx const$. De hecho, los resultados de la simulación muestran que la velocidad de caída del núcleo externo está constantemente alrededor de Mach 2. Tenga en cuenta que el modelo de Yahil no asume un politropo con$\gamma = \frac{4}{3}$y por lo tanto es más general que la aquí expuesta.

Referencias:

(1) Kippenhahn, R., Weigert, A. y Weiss, A., Stellar Structure and Evolution . 2012. págs. 462-465. doi:10.1007/978-3-642-30304-3.

(2) Müller, E. "Métodos computacionales para el flujo de fluidos astrofísicos, Curso avanzado 27 de Saas Fee". 1997. ed. por LeVeque, RJ, Mihalas, D., Dorfi, EA, Müller, E. (Springer, Berlin Heidelberg), pág. 343

(3) Goldreich, P. y Weber, SV, “Núcleos estelares que colapsan homólogamente”, The Astrophysical Journal , vol. 238, págs. 991–997, 1980. doi:10.1086/158065.

(4) Yahil, A. y Lattimer, JM, “Supernovas para peatones”, en Supernovas: A Survey of Current Research , 1982, vol. 90, págs. 53–70. ( No pude encontrar este documento, pero se hace referencia en el siguiente )

(5) Yahil, A., “Colapso estelar autosimilar”, The Astrophysical Journal , vol. 265, págs. 1047–1055, 1983. doi:10.1086/160746.