Vector de reflexión (trazado de rayos)

Question

Vector de reflexión (trazado de rayos)

óptica
Física
topología
mediciones
óptica-geométrica

sentencia_inconclusa

La ley de refracción de Snell en la interfaz entre 2 medios isotrópicos viene dada por la ecuación:

\begin{aligned} (1) & {norte}_{1} pecado θ_{1} = {norte}_{2} pecado θ_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \tag{1} n_1 \,\text{sin} \,\theta_1 = n_2 \, \text{sin}\,\theta_2 \end{align}$

$\qquad$ dónde $\theta_1$ es el ángulo de incidencia y $\theta_2$ el ángulo de refracción. $n_1$ es el índice de refracción del medio óptico frente a la interfaz y $n_2$ es el índice de refracción del medio óptico detrás de la interfaz.

La ecuación (1) se puede expresar en forma vectorial como

\begin{matrix} (2) & {norte}_{1} (i \times norte) = {norte}_{2} (t \times norte) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} n_1(\textbf{i} \times \textbf{n}) = n_2 (\textbf{t} \times \textbf{n}) \end{equation}$

$\qquad$ dónde

i

$\textbf{i}$ y

t

$\textbf{t}$ son el vector direccional unitario del rayo incidente y transmitido respectivamente.

n

$\textbf{n}$ es el vector unitario normal a la interfaz entre los dos medios que apunta desde el medio 1 con índice de refracción

n_{1}

$n_1$ en medio 2 con índice de refracción

n_{2}

$n_2$ . Similarmente

r

$\textbf{r}$ es el vector del rayo reflejado.

¿Cómo puede la ecuación

\begin{aligned} (3) & t = m i + norte \sqrt{1 - m^{2} [1 - (no)^{2}]} - m norte (no) \end{aligned}

$\begin{align}\tag{3} \textbf{t} = \mu \textbf{i} + n\sqrt{1- \mu^2[1-(\textbf{ni})^2]} - \mu \textbf{n}(\textbf{ni}) \end{align}$ ser usado para derivar la ecuación

\begin{matrix} (4) & norte = \frac{i - r}{\sqrt{2 [1 - (i r)]}} ? \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \textbf{n} = \dfrac{\textbf{i}-\textbf{r}}{\sqrt{2[1-(\textbf{i}\textbf{r})]}}? \end{equation}$

$\qquad$ Aquí $\mu = \dfrac{n_1}{n_2}$ y $\textbf{n}\textbf{i}= n_{\text{x}} i_{\text{x}} + n_{\text{y}}i_{\text{y}} + n_{\text{z}} i_{\text{z}}$ denota el producto punto (escalar) de vectores $\textbf{n}$ y $\textbf{i}$ .

En Ref.[1] dice que de la ecuación (3) se sigue

\begin{aligned} (5) & r = i - 2 norte (norte i) \end{aligned}

$\begin{align}\tag{5} \textbf{r} = \textbf{i} - 2\textbf{n}(\textbf{n}\textbf{i}) \end{align}$ Por simple modificación

\begin{aligned} (6) & norte = \frac{i - r}{2 (norte i)} \end{aligned}

$\begin{align}\tag{6} \textbf{n} = \dfrac{\textbf{i}-\textbf{r}}{2(\textbf{n}\textbf{i})} \end{align}$ Dice que "...mediante el cálculo de los productos escalares de vectores

n

$\textbf{n}$ con ambos lados de la ecuación (6), se puede expresar el producto escalar

(n i)

$(\textbf{n}\textbf{i})$ en la forma que se muestra en la ecuación (4)" que no puedo seguir) =

¿Alguien podría explicar cómo se deriva la ecuación (4)?

Referencias:

Antonín Mikš y Pavel Novák, Determinación de vectores unitarios normales de superficies asféricas dados vectores unitarios direccionales de rayos entrantes y salientes: comentario, 2012 Optical Society of America, página 1356

Respuestas (1)

Vector de reflexión (trazado de rayos)

Frobenius · Answer 1

Me pregunto por qué todas estas cosas de física (refracción, reflexión, ley de Snell, etc.) para hacer una pregunta matemática pura y simple en cálculo vectorial: la de la normalización de un vector.

\begin{matrix} (01) & norte = \frac{i - r}{‖ i - r ‖} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}}{\Vert\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}\Vert} \tag{01}\label{01} \end{equation}$

\begin{matrix} (02) & ‖ i - r ‖^{2} = ‖ i ‖^{2} + ‖ r ‖^{2} - 2 (i \cdot r) = 1 + 1 - 2 (i \cdot r) = 2 [1 - (i \cdot r)] \end{matrix}

$\begin{equation} \Vert\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}\Vert^{\bf 2}\boldsymbol{=}\Vert\mathbf{i}\Vert^{\bf 2}\boldsymbol{+}\Vert\mathbf{r}\Vert^{\bf 2}\boldsymbol{-}2(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})=1\boldsymbol{+}1\boldsymbol{-}2(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\boldsymbol{=}2\left[1\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\right] \tag{02}\label{02} \end{equation}$ eso es

\begin{matrix} (03) & ‖ i - r ‖ = \sqrt{2 [1 - (i \cdot r)]} \end{matrix}

$\begin{equation} \Vert\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}\Vert\boldsymbol{=}\sqrt{2\left[1\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\right]\vphantom{\frac12}} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ entonces

\begin{matrix} (04) & norte = \frac{i - r}{\sqrt{2 [1 - (i \cdot r)]}} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}}{\sqrt{2\left[1\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\right]\vphantom{\frac12}}} \tag{04}\label{04} \end{equation}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

EDITAR

\begin{matrix} (05) & {\begin{cases} norte \cdot i = porque θ \\ i \cdot r = porque (π - 2 θ) = - porque 2 θ \end{cases}} \overset{porque 2 θ = 2 {porque}^{2} θ - 1}{= = = = = = = = ⟹} - (i \cdot r) = 2 (norte \cdot i)^{2} - 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \left. \begin{cases} \mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{i}\boldsymbol{=}\cos\theta\\ \:\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}\boldsymbol{=}\cos(\pi\!\boldsymbol{-}\!2\theta)\!\boldsymbol{=}\!\boldsymbol{-}\!\cos2\theta \end{cases}\!\! \right\} \stackrel{\cos2\theta\boldsymbol{=}2\cos^{2}\theta\boldsymbol{-}1}{\boldsymbol{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\boldsymbol{=}2(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{i})^{2}\!\boldsymbol{-}\!1 \tag{05}\label{05} \end{equation}$ por eso tu ecuación (6)

\begin{matrix} (06) & norte = \frac{i - r}{2 (norte \cdot i)} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\!\boldsymbol{-}\!\mathbf{r}}{2(\mathbf{n}\!\boldsymbol{\cdot}\!\mathbf{i})} \tag{06}\label{06} \end{equation}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

Relacionado: Ley de Snell en forma vectorial

Vector de reflexión (trazado de rayos)

sentencia_inconclusa

Respuestas (1)

Frobenius

¿Por qué el espejo cóncavo forma simultáneamente dos imágenes?

¿Cómo se observan los patrones de interferencia de película delgada?

Imagen del espejo cóncavo cuando el objeto está más lejos que el punto focal

¿Son correctas las ópticas de prisma de xkcd y/o Pink Floyd?

Calcule el vector de polarización en la reflexión o refracción de una interfaz dieléctrica

¿Cómo pensar en imágenes virtuales?

¿Qué es esta especie de arcoíris abstracto?

Aproximación Eikonal para óptica ondulatoria. ¿Por qué seguir el vector unitario paralelo al vector de Poynting?

¿La curvatura de la pantalla IMAX mejora la vista de las proyecciones de video 3D de alguna manera para los espectadores que no se sientan en el "punto óptimo"?

Reflexión interna total infinita