Un cometa orbita alrededor del Sol en el mismo plano que la órbita de la Tierra

Solo daré un resumen sobre cómo podría tratar de responder estas preguntas, en lugar de responderlas directamente.

Contesta la primera pregunta usando la forma circular de la ecuación de Vis-Viva :$v=\sqrt{\frac{\mu}{r}}$, dónde$\mu$es el parámetro gravitatorio estándar ($4\pi^2 AU^3/yr^2$) y$r$es 1 AU. Si tu respuesta no es$2\pi$AU por año, probablemente hiciste algo mal con las unidades.

Para la segunda pregunta, intente determinar la forma de la órbita del cometa utilizando la desigualdad de la velocidad de escape:$v_e \ge \sqrt{\frac{2\mu}{r}}$. Una vez que tienes la forma de la órbita, el resto del problema se resuelve fácilmente usando ecuaciones conocidas para esa órbita.

La velocidad de escape a 0,5 AU es

$$v_e=\sqrt{\frac{2*4\pi^2}{0.5}}=\sqrt{16\pi^2}=4\pi$$ que es la velocidad exacta dada en la pregunta. Eso significa que la órbita es parabólica. De la tabla de Bogan extraída de Fundamentals of Astrodynamics de Bate/Mueller/White, para una órbita parabólica, $$r=\frac{2q}{1+\cos{\theta}}$$ dónde$r$es la distancia desde el cuerpo central,$q$es la distancia más cercana de la órbita, y$\theta$es el ángulo desde el periapsis o anomalía verdadera. Resolver nos da$\theta=\pi/2$. La misma tabla nos da el ángulo de velocidad relativo a la perpendicular a la dirección radial: $$\phi = \theta/2 = \pi/4$$ Así que la orientación de la velocidad del cometa es en$\pi/4$o 45 grados de una línea tangente a un círculo alrededor del Sol con un radio de 1 AU cuando el cometa lo atraviesa.

La solución a tales problemas es una aplicación muy simple de las leyes de conservación.

La primera ley relevante es la conservación del momento angular, que dice que para una órbita particular

$$L = mrv_{\rm tan} = {\rm constant}\ ,$$ dónde$m$es la masa del cuerpo en órbita (supuesto$\ll$la masa$M$del cuerpo que orbita) y$v_{\rm tan}$es el componente de velocidad tangencial (es decir, el componente perpendicular a una línea entre la masa central y el objeto en órbita) y$r$es la distancia entre el objeto en órbita y la masa central.

La segunda es la conservación de la energía que dice

$$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = {\rm constant}\ ,$$ dónde$v$es la velocidad en la órbita, que se forma a partir de una componente tangencial (discutida anteriormente) y una componente radial dirigida a lo largo de una línea hacia o lejos del objeto central.

En una órbita elíptica, un objeto en general tiene una componente de velocidad tanto tangencial como radial, excepto en el afelio y el perihelio, donde la componente radial es cero y$v = v_{\rm tan}$.

Por lo tanto, si conocemos la velocidad en el perihelio, podemos usar la conservación del momento angular para calcular$v_{\rm tan}$en cualquier otra posición en la órbita y podemos usar la conservación de la energía para calcular$v$en cualquier otra posición de la órbita.

Si estamos en posesión de la velocidad y uno de sus componentes, entonces sabemos en qué dirección se dirige la velocidad.