Trayectoria de los rayos de luz a través del índice de refracción periódico

La integral que estás tratando de resolver es

$$x = \int \frac{\beta}{\sqrt{\cos^2 (ky) - \beta^2}} dy = \int \frac{\beta}{\sqrt{(1 - \beta^2) - \sin^2 (ky)}} dy \\= \frac{\beta}{\sqrt{1 - \beta^2}} \int \frac{dy}{\sqrt{1 - \sin^2 (ky)/(1 - \beta^2)}} dy,$$ dónde$\beta \equiv \alpha/n_0$. Esto se puede reconocer como una integral elíptica incompleta del primer tipo: $$x - x_0 = F \left( ky \left| \frac{1}{1 - \beta^2}\right) \right.$$ dónde$x_0$es el$x$-coordinar cuando$y = 0$. Si lo desea, esto se puede invertir para encontrar$y(x)$en términos de las funciones elípticas de Jacobi: $$y = \frac{1}{k} \sin^{-1} (\mathrm{sn} (x - x_0)).$$ En esta notación, el uso del parámetro$1/(1- \beta^2)$en la definición de la función inversa se entiende.

En cierto sentido, realmente no te he dicho cómo evaluar esta integral; Te acabo de decir que esta integral tiene un nombre y ha sido estudiada (junto con su función inversa). El problema de graficar$y(x)$(o$x(y)$) y la comprensión de hacia dónde van las trayectorias todavía está allí; ya menos que tenga una comprensión completamente intuitiva de las funciones elípticas (yo no), entonces esto probablemente no sea esclarecedor. Aún así, podría darte un lugar a donde ir desde aquí; la mayoría de los manuales matemáticos pueden brindarle información sobre las propiedades analíticas de las integrales elípticas y las funciones elípticas de Jacobi, y un lenguaje de computadora que puede hacer matemáticas de alto nivel (por ejemplo, Mathematica, Maple, MATLAB, etc.) podría trazar las trayectorias por usted. .