Cómo calcular la trayectoria de luz deseada en medio continuo con índice de refracción de gradiente

Question

Cómo calcular la trayectoria de luz deseada en medio continuo con índice de refracción de gradiente

óptica
Física
óptica-geométrica
cálculo variacional

LCFactorización

Consulte la figura a continuación.

$O:(0,0)$ es el centro del disco de la fuente de luz $\odot{O}$ con radio $3$ .

Entonces los rayos de luz de perfil del disco $O$ desde el punto de vista $B:(-14,0)$ se define por segmentos $DB$ y $EB$ (también las rectas tangentes de $\odot{O}$ a través de $B$ ) cuando el índice de refracción es un valor constante en todas partes.

Ahora bien, si el índice de refracción se define como:

norte (X, y) = \frac{{mi}^{\frac{(X + 15)^{2} + y^{2} + 12}{(X + 15)^{2} + y^{2} + 11}}}{mi}

$n(x,y)=\dfrac{e^{\tfrac{(x+15)^2+y^2+12}{(x+15)^2+y^2+11}}}{e}$

Cómo determinar las dos curvas de luz de perfil del disco $O$ desde el punto de vista $B$ ?

ingrese la descripción de la imagen aquí

Traté de establecer:

d \int norte (X, y) d s = 0

$\delta\int{n(x,y)}\rm{d}s=0$ y la ODE no lineal de segundo orden a través de la ecuación de Euler-Lagrange:

y^{″} (X) = \frac{2 ((X + 15) y^{'} (X) - y (X)) (y^{'} (X)^{2} + 1)}{{(y (X)^{2} + X (X + 30) + 236)}^{2}}

$y''(x)=\dfrac{2\left((x+15)y'(x)-y(x)\right)\left(y'(x)^2+1\right)}{\left(y(x)^2+x(x+30)+236\right)^2}$ pero no sabe cómo establecer los valores iniciales/límite de la ecuación diferencial ordinaria y obtener una solución simbólica o numérica.

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Desde $y(-14)=0$ está fácilmente disponible, en realidad mi pregunta es solo 'cómo determinar otro' $y'(-14)=?$ tal que la ODE se puede resolver fácilmente numéricamente?

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Probé algunos cálculos, y al parecer, para cualquier solución numérica. $y(x)$ , será difícil determinar si es tangente al círculo $O$ O no:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Oebele

Me parece que desea saber el camino por el que viaja la luz desde el punto D hasta el punto B, donde D se define como estar en el borde del círculo rojo y perpendicular al camino, ¿correcto?

LCFactorización

Sí exactamente. Incluso cuando

D

$D$ es un punto fijo como se define en la figura, la ODE se convertirá en un problema de valor límite y es más difícil que la ODE con condiciones iniciales y de valor límite.

floris

¿Sería más fácil cambiar a un sistema de coordenadas radiales centrado en (-15,0)? Entonces

norte (r) = {mi}^{\frac{r^{2} + 2}{r^{2} + 1} - 1}

$n(r) = e^{\frac{r^2+2}{r^2+1}-1}$

LCFactorización

Parece que la transformación de coordenadas no lo hace más fácil; la cuestión clave radica en resolver la ODE no lineal de segundo orden obtenida (con condiciones de valor límite)

Sofía

¿Por qué votos para cerrar? El OP no pidió resolver su problema, pidió orientación. Los que votaron por cerrar, saben como solucionar? ¡Entonces dale una mano de ayuda!

Oebele

Creo que estás descartando la idea de Floris demasiado rápido. Creo que hará que la ODE sea mucho más fácil de resolver. No he trabajado con la ecuación de Euler-Lagrangiana durante años y me estoy desmayando, así que no puedo hacerlo ahora, aunque...

LCFactorización

¡Gracias Sofía! Dado que una de las condiciones de valor límite

y (- 14) = 0

$y(-14)=0$ está fácilmente disponible, lo que necesito es solo cómo determinar otro

y^{'} (- 14) = ?

$y'(-14)=?$ , entonces la ODE será fácil de resolver.

Oebele

Bueno, tienes una condición límite para y' en D, por supuesto, pero no sé si eso ayuda ya que la posición de D depende de la solución para y...

LCFactorización

Sí tienes razón. El Ddepende de

n (x, y)

$n(x,y)$ . por eso pienso

y^{'} (- 14)

$y'(-14)$ es una mejor opción. Un compromiso podría ser: primero dar una suposición inicial de

y^{'} (- 14)

$y'(-14)$ luego determinar

y (x)

$y(x)$ y ver si es tangente al círculo, luego dar un

δ

$\delta$ a la conjetura de

y^{'} (- 14)

$y'(-14)$ y continuar la iteración hasta obtener

y (x)

$y(x)$ es tengente al círculo.

Oebele

¿Cómo conseguiste esa última imagen?

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Ver las líneas de contorno, cambié el

n (x, y)

$n(x,y)$

Respuestas (1)

Cómo calcular la trayectoria de luz deseada en medio continuo con índice de refracción de gradiente

Me parece que desea saber el camino por el que viaja la luz desde el punto D hasta el punto B, donde D se define como estar en el borde del círculo rojo y perpendicular al camino, ¿correcto?
Sí exactamente. Incluso cuando $D$ es un punto fijo como se define en la figura, la ODE se convertirá en un problema de valor límite y es más difícil que la ODE con condiciones iniciales y de valor límite.
¿Sería más fácil cambiar a un sistema de coordenadas radiales centrado en (-15,0)? Entonces $norte (r) = {mi}^{\frac{r^{2} + 2}{r^{2} + 1} - 1}$ $n(r) = e^{\frac{r^2+2}{r^2+1}-1}$
Parece que la transformación de coordenadas no lo hace más fácil; la cuestión clave radica en resolver la ODE no lineal de segundo orden obtenida (con condiciones de valor límite)
¿Por qué votos para cerrar? El OP no pidió resolver su problema, pidió orientación. Los que votaron por cerrar, saben como solucionar? ¡Entonces dale una mano de ayuda!
Creo que estás descartando la idea de Floris demasiado rápido. Creo que hará que la ODE sea mucho más fácil de resolver. No he trabajado con la ecuación de Euler-Lagrangiana durante años y me estoy desmayando, así que no puedo hacerlo ahora, aunque...
¡Gracias Sofía! Dado que una de las condiciones de valor límite $y(-14)=0$ está fácilmente disponible, lo que necesito es solo cómo determinar otro $y'(-14)=?$ , entonces la ODE será fácil de resolver.
Bueno, tienes una condición límite para y' en D, por supuesto, pero no sé si eso ayuda ya que la posición de D depende de la solución para y...
Sí tienes razón. El Ddepende de $n(x,y)$ . por eso pienso $y'(-14)$ es una mejor opción. Un compromiso podría ser: primero dar una suposición inicial de $y'(-14)$ luego determinar $y(x)$ y ver si es tangente al círculo, luego dar un $\delta$ a la conjetura de $y'(-14)$ y continuar la iteración hasta obtener $y(x)$ es tengente al círculo.

Pablo · Answer 1

Sí, cambie a un sistema de coordenadas radiales. Básicamente, tiene un perfil de índice de n(r) = e^(r2-A)/(r2-B). No sé de dónde sacas este tipo de perfil degradado. Es la primera vez que lo veo. Por lo general, consideramos geometrías de gradiente de axial, radial, esférica, parabólica y similares. Pero el camino de la luz desde el centro de tu esfera derecha se curvará a través de la esfera y cuando salga, irá en línea recta. Encuentro tu figura confusa. Parece que tiene una fuente de luz puntual en el centro del círculo de la izquierda, pero su texto dice que la fuente de luz está en O (centro del círculo del lado derecho). No entiendo exactamente lo que estás tratando de hacer. ¿Está diciendo que su índice de gradiente está dentro del círculo de la derecha y que hay una fuente puntual en el centro? ¿Puede ser más específico sobre la configuración? También, la luz SIEMPRE va de izquierda a derecha. ¡Es un tipo de la Ley! Entonces, cuando lo dibujes, tu fuente de luz debe estar a la izquierda. Es solo una convención. Esperando más información. Llevo 25 años trabajando con vidrio de índice degradado. Desarrollé GRADIUM mientras estaba en LightPath Technologies. Vidrio de índice de gradiente axial a gran escala.

El disco rojo del lado derecho es en realidad la fuente de luz. Estaba interesado en el ángulo de intersección de los rayos de luz superior e inferior (no una fuente de luz puntual, sino un disco como el sol) cuando se encuentran en la superficie del disco izquierdo.

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Pablo

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