Tiempo de descarga del capacitor bajo una fuente de voltaje sinusoidal

Question

Tiempo de descarga del capacitor bajo una fuente de voltaje sinusoidal

dennis h

Simplemente no puedo encontrar la solución correcta para el siguiente problema bastante básico:

un condensador $C$ es continuamente descargado por una resistencia $R$ . Esto se describe fácilmente mediante un decaimiento exponencial ( $\tau:= RC$ ):

{tu}_{C} (t) = {tu}_{C, 0} Exp (- t τ^{- 1})

$U_C(t)=U_{C,0}\exp(-t\tau^{-1})$

Por lo tanto, un tiempo $t_1$ se puede calcular en qué voltaje alcanza un voltaje específico más bajo $U_1$ :

t_{1} = - τ en ({tu}_{1} / {tu}_{C, 0})

$t_1 = -\tau\ln(U_1/U_{C,0})$

Ahora considere una fuente de voltaje sinusoidal que, a medida que su voltaje aumenta con el tiempo, alcanzará el voltaje del capacitor que se descarga y, por lo tanto, lo recargará . Estoy buscando este momento exacto en el tiempo $t_2$ .

Mi enfoque : equiparar la fórmula de descarga del capacitor y la función de voltaje dada:

\hat{tu} pecado (ω t_{2}) = {tu}_{C, 0} Exp (- t_{2} τ^{- 1})

$\hat{U}\sin(\omega t_2) = U_{C,0}\exp(-t_2\tau^{-1})$ Usando los rendimientos de la fórmula de Euler

- i \hat{tu} Exp (i ω t_{2}) = {tu}_{C, 0} Exp (- t_{2} τ^{- 1}) ⟹ Exp (i ω t_{2} + t_{2} τ^{- 1}) = i {tu}_{C, 0} / \hat{tu} ⟹ i ω t_{2} + t_{2} τ^{- 1} = en (i {tu}_{C, 0} / \hat{tu})

$-\mathrm{i}\hat{U}\exp(\mathrm{i}\omega t_2) = U_{C,0}\exp(-t_2\tau^{-1})\\ \Longrightarrow\ \exp(\mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1})=\mathrm{i}U_{C,0}/\hat{U}\\ \Longrightarrow\ \mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1}=\ln(\mathrm{i}U_{C,0}/\hat{U})$ Usando el logaritmo complejo da

i ω t_{2} + t_{2} τ^{- 1} = en ({tu}_{C, 0} / \hat{tu}) + i argumento (i {tu}_{C, 0} / \hat{tu}) ⟺ i ω t_{2} + t_{2} τ^{- 1} = en ({tu}_{C, 0} / \hat{tu}) - i (π / 2 + 2 k π)

$\mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1}=\ln(U_{C,0}/\hat{U})+\mathrm{i}\arg(\mathrm{i}U_{C,0}/\hat{U})\\ \Longleftrightarrow\mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1}=\ln(U_{C,0}/\hat{U})-\mathrm{i}(\pi/2+2k\pi)$ Como no dejamos la primera periodicidad (

0

$0$ a

2 π

$2\pi$ )

k = 0

$k=0$ debe ser aplicable. También expandimos el denominador:

t_{2} = \frac{(en ({tu}_{C, 0} / \hat{tu}) - i π / 2) (τ^{- 1} - i ω)}{ω^{2} + τ^{- 2}}

$t_2=\frac{(\ln(U_{C,0}/\hat{U})-\mathrm{i}\pi/2)(\tau^{-1}-\mathrm{i}\omega)}{\omega^2+\tau^{-2}}$ Solo considerando las partes reales de nuevo se obtiene

t_{2} = \frac{τ^{- 1} en ({tu}_{C, 0} / \hat{tu}) - ω π / 2}{ω^{2} + τ^{- 2}}

$t_2=\frac{\tau^{-1}\ln(U_{C,0}/\hat{U})-\omega\pi/2}{\omega^2+\tau^{-2}}$ que lamentablemente solo devuelve valores poco realistas en mi simulación.

Cómo puedo encontrar $t_2$ ¿correctamente?

Ejemplo: Tal como se solicitó, a continuación se presenta un breve ejemplo. En este caso $U_e=\hat{U}\sin(\omega t)$ es el voltaje de entrada utilizado anteriormente. Sin embargo, $R_1$ es la resistencia de carga y no se considera aquí porque ya hay una aproximación simple para el tiempo $t_1$ cuando el condensador deja de cargarse. De este modo, $R:=R_2$ fue utilizado en mi descripción anterior.

he marcado el tiempo $t_2$ en el que quiero volver a aplicar la función de carga actual que ya está implementada para la primera parte ( $t<t_1$ ) de la función de voltaje capacitivo. La "simulación terminada" incluiría una alternancia de carga (aumentos de voltaje cap.) y descarga (caídas de voltaje cap.).

Con respecto a la respuesta de Jan :

Tracé la ecuación dada, que parece carecer de una disminución exponencial esperada: el uso de los siguientes valores de componentes dio como resultado el siguiente resultado de simulación:

Aunque los valores extremos parecen coincidir un poco, realmente no sé por qué su solución no da el mismo resultado.

Tony Estuardo EE75

intente dibujar un esquema válido

Andy alias

El circuito que muestra y la forma de onda del voltaje del capacitor son incorrectas. El condensador se cargará hacia arriba y hacia abajo y de alguna manera seguirá la forma de onda de la red eléctrica rectificada.

dennis h

@Andyaka Sí, describe perfectamente lo que quiero lograr. Sin embargo, para cambiar correctamente entre la función de carga/descarga, necesito saber el valor numérico de t2: se requiere una ecuación para t2. Lo que ves en mi gráfico es solo el primer proceso de carga y descarga. Por ejemplo, para t>t2 seguiría otro proceso de carga; como ya has descrito correctamente.

Clara Díaz Sánchez

Entonces, ¿es su intención conectar un capacitor a través de un suministro de CA rectificado, y pregunta cómo depende la ondulación restante del valor del capacitor?

dennis h

@ClaraDiazSanchez En cierto sentido, sí, pero preferiría en gran medida una solución algo analítica porque quiero aplicar eso a la característica IV de un MOSFET. El circuito anterior sería el controlador de puerta (Puerta después de R1) de un convertidor "DC"-"DC".

bruce abbott

La ecuación de Jan asume que la salida del rectificador es una forma de onda de voltaje rígida que genera y absorbe corriente. En realidad, el rectificador solo genera corriente. Su fórmula necesita desconectar R1 cuando el voltaje de entrada rectificado es inferior a 2 caídas de voltaje del diodo por encima del voltaje del capacitor (es decir, entre t1 y t2).

Respuestas (2)

Tiempo de descarga del capacitor bajo una fuente de voltaje sinusoidal

El circuito que muestra y la forma de onda del voltaje del capacitor son incorrectas. El condensador se cargará hacia arriba y hacia abajo y de alguna manera seguirá la forma de onda de la red eléctrica rectificada.
@Andyaka Sí, describe perfectamente lo que quiero lograr. Sin embargo, para cambiar correctamente entre la función de carga/descarga, necesito saber el valor numérico de t2: se requiere una ecuación para t2. Lo que ves en mi gráfico es solo el primer proceso de carga y descarga. Por ejemplo, para t>t2 seguiría otro proceso de carga; como ya has descrito correctamente.
Entonces, ¿es su intención conectar un capacitor a través de un suministro de CA rectificado, y pregunta cómo depende la ondulación restante del valor del capacitor?
@ClaraDiazSanchez En cierto sentido, sí, pero preferiría en gran medida una solución algo analítica porque quiero aplicar eso a la característica IV de un MOSFET. El circuito anterior sería el controlador de puerta (Puerta después de R1) de un convertidor "DC"-"DC".
La ecuación de Jan asume que la salida del rectificador es una forma de onda de voltaje rígida que genera y absorbe corriente. En realidad, el rectificador solo genera corriente. Su fórmula necesita desconectar R1 cuando el voltaje de entrada rectificado es inferior a 2 caídas de voltaje del diodo por encima del voltaje del capacitor (es decir, entre t1 y t2).

Jan Eerland · Answer 1

Bien, tenemos el siguiente circuito:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

El voltaje de entrada es un voltaje de red rectificado, que se puede escribir matemáticamente de la siguiente manera:

\begin{matrix} (1) & v_{en} (t) = | {\hat{V}}_{i} pecado (ω t) | \end{matrix}

$\text{v}_\text{in}\left(t\right)=\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\sin\left(\omega t\right)\right|\tag1$

Usando la transformada de Laplace , podemos escribir:

\begin{matrix} (2) & V_{en} (s) = I_{en} (s) \cdot (R_{1} + \frac{R_{2}}{1 + {RCS}_{2}}) \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}\left(\text{s}\right)=\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)\cdot\left(\text{R}_1+\frac{\text{R}_2}{1+\text{sCR}_2}\right)\tag2$

Usando la definición de la transformada de Laplace obtenemos:

\begin{matrix} (3) & V_{en} (s) = L_{t} {[v_{en} (t)]}_{(s)} = \int_{0}^{\infty} v_{en} (t) Exp (- s t) d t = \frac{| {\hat{V}}_{i} | ω bata (\frac{π s}{2 ω})}{s^{2} + ω^{2}} \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}\left(\text{s}\right)=\mathcal{L}_t\left[\text{v}_\text{in}\left(t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=\int_0^\infty\text{v}_\text{in}\left(t\right)\exp\left(-\text{s}t\right)\space\text{d}t=\frac{\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\right|\omega\coth\left(\frac{\pi\text{s}}{2\omega}\right)}{\text{s}^2+\omega^2}\tag3$

El voltaje a través del capacitor está dado por:

\begin{matrix} (4) & V_{C} (s) = \frac{1}{Carolina del Sur} \cdot \frac{R_{2}}{R_{2} + \frac{1}{Carolina del Sur}} \cdot I_{en} (s) \end{matrix}

$\text{V}_\text{C}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{sC}}\cdot\frac{\text{R}_2}{\text{R}_2+\frac{1}{\text{sC}}}\cdot\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)\tag4$

Entonces:

V_{C} (s) = \frac{1}{Carolina del Sur} \cdot \frac{R_{2}}{R_{2} + \frac{1}{Carolina del Sur}} \cdot \frac{| {\hat{V}}_{i} | ω bata (\frac{π s}{2 ω})}{s^{2} + ω^{2}} \cdot \frac{1}{R_{1} + \frac{R_{2}}{1 + {RCS}_{2}}} =

$\text{V}_\text{C}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{sC}}\cdot\frac{\text{R}_2}{\text{R}_2+\frac{1}{\text{sC}}}\cdot\frac{\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\right|\omega\coth\left(\frac{\pi\text{s}}{2\omega}\right)}{\text{s}^2+\omega^2}\cdot\frac{1}{\text{R}_1+\frac{\text{R}_2}{1+\text{sCR}_2}}=$

\begin{matrix} (5) & \frac{| {\hat{V}}_{i} | ω bata (\frac{π s}{2 ω})}{s^{2} + ω^{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot (1 + {RCS}_{2})} \end{matrix}

$\frac{\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\right|\omega\coth\left(\frac{\pi\text{s}}{2\omega}\right)}{\text{s}^2+\omega^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{\text{R}_1}{\text{R}_2}\cdot\left(1+\text{sCR}_2\right)}\tag5$

Usando las propiedades de la transformada de Laplace, podemos escribir:

\begin{matrix} (6) & v_{C} (t) = \frac{1}{{RC}_{1}} \int_{0}^{t} | {\hat{V}}_{i} pecado (ω (t - τ)) | Exp (- \frac{(R_{1} + R_{2}) τ}{C R_{1} R_{2}}) d τ \end{matrix}

$\text{v}_\text{C}\left(t\right)=\frac{1}{\text{CR}_1}\int_0^t\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\sin\left(\omega\left(t-\tau\right)\right)\right|\exp\left(-\frac{\left(\text{R}_1+\text{R}_2\right)\tau}{\text{C}\text{R}_1\text{R}_2}\right)\space\text{d}\tau\tag6$

Gracias por tu respuesta, es muy apreciada. Nunca he usado este método antes, por lo que podría ser una excusa por la que estoy apilado en Eq.5, porque solo obtengo $1/(sCR_1+1)(sCR_2+1)$ para la segunda fracción, lo que requeriría que la convolución se aplicara en otro momento. No obstante, grafiqué su solución y no muestra el decaimiento exponencial esperado durante el tiempo límite. descargas ¿Quizás esto esté relacionado con que vin(t) no sea diferenciable en t=pi/omega?
Inserté un comentario largo como respuesta sobre el caso. Aquí también se discute la falta de decaimiento exponencial.
@DennisH Bueno, si usa WolframAlpha para verificar la fracción (código: TrueQ[(1/(s * c))*(b/(b+(1/(s * c))))*(1/(a+(b) /(1+s * c * b))))==1/(1+(a/b)*(1+s * c * b))]) verás que mi ecuación es correcta.

usuario136077 · Answer 2

Esto es en realidad un comentario, pero no se permiten comentarios tan largos.

Su circuito (= R1 + C + R2) no tiene rectificador y mostró que el voltaje de entrada es sinusoidal rectificado de onda completa. Tiene una respuesta que muestra el voltaje del capacitor resultante como una fórmula que se deriva con las transformadas de Laplace. Eso es exacto y no hay problema allí. Incluso has trazado la fórmula y se ve perfecta.

Pero aparentemente querías algo totalmente diferente. Tiene en su pensamiento, no en el diagrama del circuito original, incluido un rectificador de diodo que cambia la función por completo. El capacitor en el circuito original es cargado y descargado también por la fuente de voltaje de suministro. El rectificador hace que solo R2 descargue el capacitor. Has encontrado la curva correcta para ello con un software de simulación.

El problema de cómo calcular exactamente la curva de voltaje resultante solo se puede resolver con simulación numérica. No existe una fórmula para el punto donde la caída exponencial se encuentra con la sinusoidal ascendente. Además, los diodos prácticos provocan caídas de tensión que dependen de forma compleja de la corriente. Todo esto, incluso con diodos ideales, conduce a ecuaciones trascendentales que solo se pueden resolver numéricamente, la solución no se puede escribir con funciones elementales. Tal vez se pueda presentar una serie infinita, pero eso está más allá de mis capacidades de cálculo.

Su intento de resolver analíticamente la ecuación trascendental lamentablemente diverge al principio. Has extraído el seno de la fórmula de Euler totalmente a tu manera. Omitiste la parte del coseno de la fórmula.

Las soluciones analíticas se utilizan en casos simplificados. Como puede ver en su simulación, la caída de Vc parece lineal después de que la entrada de los diodos cae más rápido que VC y el siguiente pulso sinusoidal no es lo suficientemente alto. Suponiendo que la caída de Vc lineal (= corriente de carga constante) da la posibilidad de calcular el máximo. tasa de caída para Vc mínimo permitido. De él se obtiene el C necesario o el máx. corriente de carga permitida.

Si necesita una solución analítica, probablemente pueda hacer una tabla numérica para su propia función especial "tedmris" (= tiempo para que la caída exponencial se encuentre con un seno ascendente). No es peor que tener una fórmula con sen, cos, exp, sqrt, etc... que ya están como tablas o series de rápida convergencia en las calculadoras. Se necesita una investigación matemáticamente válida de las propiedades de tedmris para poder mantener los números de los parámetros al mínimo, para poder simplificar las fórmulas algebraicamente y para encontrar una buena manera de calcularlo y su inversa.

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