Tensor de estrés de Maxwell

¿Qué es realmente el tensor de tensión de Maxwell ? Entiendo que se deriva de

F = ∫ V ( mi + v × B ) ρ   d τ

Griffiths describe esto como "fuerza EM total sobre las cargas en el volumen V ".

T i j = ϵ 0 ( mi i mi j − 1 2 d i j mi 2 ) + 1 m 0 ( B i B j − 1 2 d i j B 2 )

Esto nos lleva al tensor de estrés, pero hay algo que no entiendo. La descripción dada es

Físicamente, T es la fuerza por unidad de área que actúa sobre la superficie.

¿De qué superficie estamos hablando aquí? ¿Una superficie arbitraria? En el caso del ejemplo 8.2 (fuerza neta sobre el hemisferio superior de una esfera con carga uniforme), la superficie en cuestión es claramente el límite del hemisferio superior y su "disco" que separa los dos hemisferios. En otros casos, como el problema 8.4, donde tenemos dos cargas puntuales separadas por una distancia, debemos integrar sobre una superficie particular. Para tal problema, debemos "integrar el tensor de tensión sobre el plano equidistante de las dos cargas", pero ¿por qué ? ¿Cómo sería la suma de la fuerza en el plano que separa las dos cargas puntuales igual a la fuerza en cada carga?

¿Cómo podría haber "fuerza por unidad de área" en un plano vacío?

Respuestas (3)

El tensor de tensión de Maxwell se introduce como análogo al tensor de tensión en la mecánica de medios continuos, y su forma se deriva de la ecuación

d d t ∫ V ( pags + gramo ) d V = ∮ S d S ⋅ T
dónde pags es la densidad del momento de la materia y gramo es la densidad de impulso del campo EM. El lado derecho es una integral de superficie sobre S , el límite de la región V y se parece a la fuerza superficial total en la mecánica continua. La región y por lo tanto también su superficie es arbitraria, la ecuación es válida para cualquier elección. Si el límite está en el espacio libre, obviamente no hay "fuerza superficial" en el sentido original, pero la ecuación tiene la misma forma que si la hubiera, como en la mecánica continua.

Alternativamente, se puede interpretar d S ⋅ T en el lado derecho no como una fuerza de superficie por unidad de área, sino como un momento EM que ingresa a la región V mediante d S por unidad de tiempo. Quizás esto sea mejor ya que no tenemos que hablar de "fuerza de tensión" que actúa en el espacio libre (¿sobre qué? Es una buena pregunta). Pero ambos puntos de vista se utilizan comúnmente.

EDITAR: en caso de que todo sea estático, fuerce la distribución regular de carga ρ ( X ) (primera partícula cargada) que está contenida dentro de la región V es

F = ∫ V ρ ( X ) mi ( X ) d 3 X
Esto se puede transformar usando las ecuaciones de Maxwell y el cálculo vectorial en
F = ∮ S d S ⋅ T
dónde S es la superficie límite de V . Esto solo significa que la fuerza electrostática sobre un cuerpo cargado se puede calcular como la suma de las fuerzas elementales que actúan "localmente" o "a granel" como "fuerzas de volumen", o alternativamente se puede calcular la misma fuerza del campo a distancia de la superficie que encierra el cuerpo como una suma de fuerzas superficiales ficticias. El último caso recuerda a la fuerza de tensión continua, pero la conexión es solo matemática: físicamente, no hay fuerza en la superficie ya que no hay materia allí.

Nota al margen: todo esto generalmente se deriva solo para distribuciones regulares, donde ρ está ligado. La derivación no funciona para cargas puntuales, porque para ellas la integral de la izquierda no tiene sentido, son un caso especial que conduce a una teoría diferente. Sin embargo, dicho sea de paso, el lado derecho sigue siendo válido para partículas puntuales. Esto se debe a que existe un teorema similar que se puede derivar para partículas puntuales, con un tensor de tensión EM ligeramente diferente, que sorprendentemente da la misma integral de superficie. Esto se ve fácilmente por el hecho de que la fuerza entre dos cuerpos cargados no depende de si los cuerpos son puntos o, por ejemplo, esferas uniformemente cargadas.

Volviendo a las preguntas del OP, toda esta equivalencia entre las dos formas de expresar la fuerza se rompe una vez que los campos dejan de ser estáticos; entonces la presencia de momento EM en V no se puede descuidar. Entonces, la fuerza que actúa sobre un cuerpo cargado no está dada únicamente por el tipo de integral de la derecha, sino que se cree que la ecuación original de la fuerza, la primera ecuación del OP (integral de una expresión local) sigue siendo correcta para cuerpos extendidos.

Si bien entiendo lo que dices, me deja algo insatisfecho. Todavía no explica por qué la fuerza entre dos cargas puntuales se puede calcular integrando el tensor de tensión en el plano entre ellas.
@Astrum, edité la respuesta para explicar por qué se puede usar el tensor de tensión para encontrar la fuerza.
No estoy seguro de por qué el lado izquierdo no tiene sentido para decir una distribución delta de dirac. Tienes el acto de distribución sobre la función de identidad para dar uno, por lo que la integral tiene sentido (como todas las integrales de distribuciones tienen sentido como la distribución que actúa sobre la función de identificación). Si por teoría diferente solo te refieres a distribuciones, entonces te sigo. Pero habló sobre las partículas no puntuales como distribuciones limitadas, por lo que no estoy seguro de si solo se refería a 3 formas por distribución. ¿Podría proporcionar un nombre de la teoría diferente o una cita?
Lo que quise decir es la integral.
∫ V gramo d V
no tiene sentido para partícula puntual. Esto se debe a que la partícula puntual tiene un campo EM que varía como   1 r 2 en la vecindad de la partícula. Cantidad gramo = k mi × B entonces no es integrable en el punto donde está la partícula.

Un tensor de tensión tiene nueve componentes en cada punto del espacio. Si los agrupa en tres conjuntos de tres, puede imaginarlo como tres campos vectoriales. hazlo Cada uno de esos campos vectoriales tiene una divergencia, y serían tres campos escalares. Puede combinar esos tres campos escalares para obtener un campo vectorial. ¿Y si ese campo vectorial fuera la densidad de fuerza (fuerza por unidad de volumen)?

La fuerza por unidad de volumen indica la velocidad a la que cambia la cantidad de movimiento (por volumen) en ese volumen. Entonces esto no nos dice cuál es el estrés, solo cuál es su divergencia. Pero puede aplicar el teorema de la divergencia a cualquier región acotada para decir que el flujo del tensor de tensión fuera de la región es la fuerza total que actúa sobre el volumen dentro de la región. El flujo a través de la superficie es igual a la divergencia integrada sobre la región, por lo que ambos son insensibles a las mismas cosas.

En relación a todo esto aquí hay otro tema: en un campo electrostático gramo = 0 tiempo T ≠ 0 entonces tenemos flujo de momento mientras que la densidad de momento es cero. En mi opinión T debe interpretarse como una combinación de flujo de cantidad de movimiento más estrés, al igual que en la mecánica continua, el análogo de T es (usando notación indicial)

σ i k − ρ V i V k
El segundo término de la suma da el flujo de cantidad de movimiento debido al movimiento de la materia, mientras que el primer término da las fuerzas que actúan sobre una porción dada de la materia.

¿Cómo dividirías las entradas de la matriz? T en esos dos componentes?
No sé, pero si queremos aceptar cosas como la que dije (flujo de impulso ≠ 0 mientras que la densidad de momento = 0) yo debo aceptar que T implica tensión así como flujo de cantidad de movimiento
Puede ser que no sea que puedas dividir las entradas de la matriz. T sino como las interpretas según la situación física
En la teoría macroscópica de la conducción de la corriente eléctrica, es común suponer que hay corriente eléctrica neta mientras que la densidad de carga desaparece. Del mismo modo, no creo que haya un problema real con tener un flujo de impulso EM que no se desvanece con la densidad del impulso EM que se desvanece. Estas son cantidades matemáticas aún más abstractas que la densidad de carga y la densidad de corriente.
El ejemplo de conducción macroscópica estaría bien si tuviéramos ρ V = j ≠ 0 tiempo ρ = 0 sin embargo, este no es el caso, el ρ en la expresión para j no es la densidad de carga total es solo la densidad en movimiento
Mi ejemplo con la conducción muestra que la densidad de algo S y la densidad de flujo de algo F no tiene que ser distinto de cero al mismo tiempo. no veo porque quieres tener ρ V = j ≠ 0 y ρ = 0 al mismo tiempo; No asumo eso. Sería matemáticamente inválido, ya que si ρ = 0 , ρ V = 0 para cualquier vector V .
Como dijiste anteriormente, puede ser que solo tengamos que aceptar que puede haber un flujo de algo sin que haya algo. Sin embargo, creo que es contrario a la intuición que tal cosa pueda suceder si pensamos que el flujo es causado por el movimiento de algo con velocidad. V entonces la expresión para el flujo debe ser j = ρ V y como usted señaló, no tiene sentido tener ρ V ≠ 0 con ρ = 0 . Para el caso de la corriente eléctrica esta situación no se presenta porque j = ∑ ρ k V k puede no ser cero mientras ∑ ρ k todavía puede ser cero.
Sí, es contrario a la intuición si pensamos en el campo EM como si fuera un flujo de fluido. Pero no hay necesidad de eso: el campo EM obedece ecuaciones diferentes a las de la mecánica de fluidos.
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