Tensión en una cuerda

Me preguntaba cómo se puede describir la fuerza de tensión de forma continua a lo largo de una cuerda. Podemos mirar un segmento de cuerda de longitud d X y digamos que la fuerza de tensión neta es

T pecado ⁡ θ X + d X − T pecado ⁡ θ X
pero eso, por supuesto, describe la fuerza de tensión en un segmento . A veces veo que en los textos se refieren a la fuerza de tensión en la posición X como − T ∂ ∂ X ψ ( X , t ) . ¿Cómo se puede pasar de lo primero a lo segundo?

  • Me refiero a la tensión a lo largo del eje vertical.
¿Puedes mostrar dónde encontraste esta última fórmula?

Respuestas (1)

La prueba se puede encontrar en cualquier texto elemental sobre ondas. Puedes hacerlo de la siguiente manera: Seguimos la notación como en la figura.

ingrese la descripción de la imagen aquí

La fuerza neta hacia arriba es

F X ( t ) = T 2 pecado ⁡ θ 2 − T 1 pecado ⁡ θ 2

queremos expresar F X ( t ) en términos de ψ ( z , t ) y su derivada espacial ∂ ψ / ∂ z .

Ahora hacemos una aproximación aquí. En la aproximación de pequeña oscilación, despreciamos el aumento en la longitud del segmento, y también aproximamos porque ⁡ θ por 1 . Así tenemos T porque ⁡ θ = T 0

F X ( t ) = T 2 pecado ⁡ θ 2 − T 1 pecado ⁡ θ 2
F X ( t ) = T 2 porque ⁡ θ 2 broncearse ⁡ θ 2 − T 1 porque ⁡ θ 2 broncearse ⁡ θ 2 = T 0 broncearse ⁡ θ 2 − T 0 broncearse ⁡ θ 2
F X ( t ) = T 0 ( ∂ ψ ∂ z ) 2 − T 0 ( ∂ ψ ∂ z ) 1
Ahora aquí usamos la expansión de Taylor y usamos el hecho Δ z es pequeño a aproximado. Si haces ejercicio obtendrás

( ∂ ψ ∂ z ) 2 − ( ∂ ψ ∂ z ) 1 = Δ ∂ 2 ψ ( z , t ) ∂ z 2

De modo que

F X ( t ) = T 0 Δ z ∂ 2 ψ ( z , t ) ∂ z 2

De hecho, la expresión que ha dado no es del todo correcta.

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