Si una batería está abierta en un extremo pero conectada en el otro, ¿aumenta el potencial en el extremo conectado?

Dentro de una batería, una reacción química es responsable de mover los electrones móviles de un terminal al otro.
El borne de donde proceden los electrones móviles se denomina borne positivo (déficit de electrones móviles) de la batería y al que van se denomina borne negativo (exceso de electrones negativos).

Si no hay un circuito conductor externo, la acumulación de cargas en los terminales genera un campo eléctrico dentro de la batería que se opone al movimiento de los electrones móviles dentro de la batería producidos por la reacción química.
Eventualmente, el campo eléctrico producido por el excedente/déficit de cargas en los terminales es lo suficientemente fuerte como para detener el movimiento de los electrones móviles dentro de la batería y la diferencia de potencial entre los terminales de la batería permanece constante.
Esta diferencia de potencial es igual a la fem de la batería.

Puede pensar en los dos terminales de la batería como un capacitor con aire en el medio y ese capacitor de valor extremadamente pequeño se ha cargado por completo.

Ahora considere el circuito en su pregunta y permita que el circuito se conecte al terminal negativo de la batería pero no al terminal positivo.
Dado que no hay un circuito conductor completo, no fluye corriente en la parte conductora de su circuito.
Esto significa que no puede haber una diferencia de potencial entre el terminal negativo de su batería y el extremo abierto de su circuito, pero hay una diferencia de potencial entre el terminal positivo de la batería y el terminal negativo de la batería.
Entonces, no hay una diferencia de potencial en su circuito, pero hay una diferencia de potencial entre el terminal positivo (déficit de electrones móviles) de la batería y el extremo abierto de su circuito (excedente de electrones) que en cierto sentido se ha convertido en el nuevo negativo terminal de su batería.

En términos de movimiento de electrones móviles en su circuito, esto es lo que sucede.
Supongamos que su circuito fuera solo un trozo de cable cuyo extremo no está conectado a la batería.
A medida que lleva un extremo del cable hacia el terminal negativo (exceso de electrones) de la batería, fluye una corriente de un minuto en el cable (su circuito).
Esas cargas fluyen dentro del alambre bajo la influencia del campo eléctrico producido fuera de la batería por los terminales de la batería.
Las cargas dentro del cable se redistribuyen y en electrostática se las llama cargas inducidas con cargas positivas inducidas (déficit de electrones móviles) en el extremo del cable más cercano al terminal negativo de la batería y negativas inducidas (exceso de electrones) en el extremo que está alejado del terminal negativo de la batería.

A medida que acerca el cable al terminal negativo, se inducen más cargas y esto continúa hasta que el cable toca el terminal negativo.
El déficit de electrones en el cable es entonces igual al excedente de electrones en el terminal y se "neutralizan".
Entonces terminas sin diferencia de potencial en el cable, pero hay una diferencia de potencial entre el terminal positivo de la batería y el extremo abierto de tu cable: el nuevo terminal negativo de la batería.