Si la fuerza depende solo de la masa y la aceleración, ¿cómo es que los objetos más rápidos causan más daño?

La aceleración en el camino hacia abajo es la misma. La aceleración cuando golpea la cabeza de la persona es diferente.

Ambas monedas tienen que ser detenidas por el cráneo (esperamos). La moneda que va a 2 m/s no necesitará tanta aceleración para detenerse en la misma distancia que una moneda que va a 10 m/s. Esa aceleración más lenta requerirá menos fuerza.

Después de detener la moneda, seguirá produciendo una fuerza igual a su peso. Pero eso es sólo una parte de la fuerza involucrada.

¡Sí, te estás olvidando de algo! La aceleración que es relevante cuando la moneda golpea la cabeza de su desafortunada víctima no es la aceleración que experimentó la moneda de antemano (que, como usted señala correctamente, es la aceleración constante debida a la gravedad), sino la aceleración que experimenta la moneda como resultado del impacto. Claramente, una moneda que viaja a una velocidad muy alta tiene que experimentar una enorme aceleración para que un impacto la detenga. Y ese es el mejor de los casos: si la moneda rebota elásticamente en la cabeza en cuestión, entonces su velocidad se invertiría, ¡lo que sería el doble de la aceleración!

Si dejo caer una moneda en la cabeza de alguien con mi mano a solo un par de centímetros por encima de su cabello, no se molestará demasiado; pero si dejo caer la misma moneda desde la azotea de un rascacielos, entonces podría causar daños muy graves o incluso abrirles la cabeza.

El daño es causado por la fuerza de impacto promedio durante la colisión, no por la fuerza de la gravedad.$mg$. El teorema del trabajo y la energía establece que el trabajo neto realizado por un objeto es igual a su cambio en la energía cinética. Entonces, si su moneda se detiene al hacer contacto con la cabeza,

Dónde$F_{average}$es igual a la fuerza de impacto promedio en la cabeza,$m$es la masa de la moneda,$v$es su velocidad al impactar con la cabeza, y$d$es la distancia de penetración en la cabeza, que se supone mucho menor que la altura desde la que cae la moneda.

Tenga en cuenta que cuanto mayor sea la altura de caída$h$, en igualdad de condiciones, mayor será la velocidad y la energía cinética de la moneda al impactar, ya que, despreciando la resistencia del aire,$v=\sqrt {2gh}$, y por lo tanto mayor es la fuerza de impacto promedio.

Tenga en cuenta, sin embargo, que la velocidad de impacto real estará limitada a la velocidad terminal debido a la resistencia del aire.

Espero que esto ayude.

Como tú sabes,$\mathbf F=m \mathbf a$es relevante para la caída de la moneda antes de que golpee la cara. De hecho, la fuerza que actúa sobre la moneda es más o menos constante, al igual que su aceleración. Pero cuanto más dure la aceleración gravitacional, más rápido se moverá la moneda.

Cuando la moneda choca con la cabeza, experimenta un cambio rápido de velocidad, ya que pierde su velocidad hacia abajo e incluso puede adquirir una velocidad hacia arriba (si rebota). Su aceleración (tasa de cambio en la velocidad) será grande (dependiendo del tiempo que haya estado cayendo) y también lo será la fuerza que experimente. La fuerza que da lugar a esta aceleración (hacia arriba) proviene de la cabeza. La moneda ejercerá una fuerza igual hacia abajo sobre la cabeza.

acabamos de aplicar$\mathbf F=m \mathbf a$al choque entre la moneda y la cabeza. Tenga en cuenta que esta es la segunda vez que llamamos$\mathbf F=m \mathbf a$. Es importante distinguir entre la aceleración gravitacional de la moneda mientras cae y la aceleración mucho mayor (quizás prefieras llamarla desaceleración) cuando golpea la cabeza.

Suponiendo que no haya resistencia del aire, la moneda acelera desde cero hasta la velocidad de impacto final durante el período de la caída. Cuando golpea a alguien, la moneda se desacelera desde la velocidad de impacto hasta cero en una fracción de segundo . Tiene un cambio idéntico en la velocidad en un tiempo mucho más corto, lo que requiere una fuerza/aceleración mucho mayor. Si la moneda ha ganado más velocidad debido a una caída más larga, debe experimentar una fuerza mayor para detenerla, suponiendo que el impacto sea siempre de una duración "corta" similar.

No es la caída lo que mata, es la parada repentina al final.

Estás considerando la aceleración durante la caída libre. Pero el daño no ocurre durante la caída libre. Ocurre durante la parada repentina en el impacto.

Es la aceleración (desaceleración) durante el impacto lo que debe considerar, no la aceleración durante la caída libre. Cuando la moneda golpea la cabeza, se ralentiza rápidamente; esto requiere una gran aceleración (negativa).

La cabeza debe proporcionar la fuerza que provoca esta aceleración (negativa). Si no puede hacer eso, entonces la moneda no se ralentiza lo suficiente como para detenerse por completo y, por lo tanto, penetrará en el tejido y causará daños.

Lo sabemos

También sabemos que

Entonces la fórmula para la fuerza se convierte en

Suponiendo que la masa es constante, podemos decir simplemente

Desde

Podemos ver que la fuerza es la tasa de cambio del impulso. Esta es en realidad la definición original de la Segunda ley del movimiento. Un objeto que se mueve rápidamente tiene un gran impulso y cuando golpea un objeto y se detiene en un tiempo relativamente corto, la tasa de cambio del impulso es muy alta, lo que significa que la fuerza es muy alta.

Abordemos esto intuitivamente. Más daño significa más trabajo necesario para causar ese daño.

El trabajo dañino realizado por la moneda es igual a su energía cinética en el momento de la colisión (suponiendo una colisión inelástica, con la moneda deteniéndose por completo), que es absorbida por el cráneo.

Por tanto lo importante a la hora de valorar el daño es la velocidad final de la moneda, que depende del tiempo que lleva cayendo ya que sigue acelerando, y así va adquiriendo energía cinética (hasta su velocidad límite si se quiere considerar la arrastre atmosférico).

Es por eso que una caída corta es menos dañina que una caída larga.

¿Quizás un cálculo numérico del orden de magnitud ayudará?

Supongamos que la moneda tiene una masa de$5\,\rm g$y se deja caer desde una altura de$2\,\rm cm$sobre una superficie que se deforma por$1\,\rm mm$detener la moneda.

Al caer la moneda pierde energía potencial$mgh = (5\times 10^{-3}) \times 10 \times (2\times 10^{-2}) = 10^{-3}\,\rm J$y esta es la energía cinética de la moneda justo antes del impacto.
Si después de golpear el objeto la moneda deforma el objeto por$1\,\rm mm$mientras el objeto está aplicando una fuerza de$F$durante el tiempo la moneda frena y finalmente se detiene.
Igualar el trabajo realizado por la fuerza de frenado$F \times 10^{-4} = 10^{-3} \Rightarrow F= 1\,\rm N$.

Repitiendo el cálculo pero ahora soltando la moneda$2\,\rm m$y suponiendo que la fuerza de frenado tiene la misma magnitud que antes da como resultado una deformación de$10\,\rm cm$.

Puntos a tener en cuenta.
a La aceleración mientras cae la moneda es la misma$(\approx 10\,\rm m\,s^{-2})$.

b Solo como ilustración, he supuesto que la fuerza que frena la moneda es constante y, en ambos casos, la aceleración está dada por$F=ma \Rightarrow 1 = 5\times 10^{-3}\, a \Rightarrow a = 200\,\rm m\,s^{-2}$

c Lo que hace la altura adicional durante la caída es aumentar la energía cinética de la moneda, lo que a su vez significa que la moneda deformará (dañará) más el objeto que golpea durante el tiempo que se está desacelerando.

d Acepto que la fuerza de retardo no será constante cuando se trata del ejemplo de la vida real de la moneda golpeando la cabeza, ya que hay diferentes capas involucradas, piel y hueso del cráneo, pero lo que he tratado de hacer es mostrar que aunque el la aceleración mientras se desacelera es importante, también existe el factor muy importante de disipar la energía cinética de la moneda.

La fuerza que nos importa no es la fuerza de la gravedad, sino la fuerza entre la moneda y la cabeza de la persona.

Si la moneda y la cabeza de la persona fueran ambos cuerpos rígidos, entonces la fuerza involucrada sería infinita. Sin embargo, eso es claramente poco realista.

En realidad, ni la moneda ni la cabeza de la persona pueden permanecer rígidas frente a una fuerza infinita, por lo que uno o ambos objetos comenzarán a deformarse (en este caso, principalmente la cabeza de la persona), esto limitará la fuerza involucrada y, por lo tanto, limitará la tasa de desaceleración.

Cuanto más rápido se mueva el proyectil, más lejos viajará entre el impacto inicial y la desaceleración hasta detenerse y más deformación causará a la víctima.

En general, los materiales responden de manera diferente a los diferentes niveles de deformación. Para pequeñas deformaciones, es probable que respondan elásticamente y vuelvan a su estado anterior sin sufrir daños. Sin embargo, es probable que las deformaciones más grandes den como resultado una deformación plástica o una ruptura total del material.

2 razones principales.

Intuitivamente, los 2 objetos, por ejemplo, ejercen una fuerza eléctrica entre sí, debido a su carga

Para velocidades más altas, la carga 1 se acercará MÁS a la carga 2 antes de ser repelida, lo que significa que ejerce una fuerza mayor que hace que se realice más trabajo en la carga 2.

Y también para velocidades relativas más altas, la carga 1 también pasará MÁS tiempo cerca de la carga 2, lo que significa que se está realizando más trabajo.

Ambos hacen que el objeto acelere más para velocidades relativas más altas.

La conservación del impulso también puede mostrar esto

La fuerza sobre la cabeza de la víctima es la tasa de cambio del impulso. es decir, Fuerza=tasa de cambio de momento. Si el tiempo es pequeño, la tasa de cambio es enorme. Esta es la razón por la que las zonas de deformación en los automóviles funcionan, aumentan el tiempo durante el cual cambia el impulso de los pasajeros.

la ecuación para su ejemplo (segunda ley de Newton) es:

por lo tanto la aceleracion$\ddot h~$es lo mismo pero

con la solución

así el impacto$~m\,v~$es dependiendo de la altura$~h~$desde donde tiras la moneda

F=ma se aplica en todas las altitudes. La moneda experimentará la misma fuerza en cada altura. Lo que cuenta es la velocidad que alcanzará la moneda cuando golpee la cabeza y no la fuerza que la tire hacia abajo. Puedes caminar con una moneda en la cabeza sin peligro.

Cuando la moneda te golpea a gran velocidad, sientes una fuerza extra. En un breve momento la moneda se desacelera porque tu cráneo ejerce una fuerza sobre ella. El cambio de velocidad, el tiempo en que esto sucede y la masa de la moneda determinan esta fuerza. Si la moneda se detiene en 0,0001 segundos, su velocidad es de 50 metros/segundo y su masa es de 1 gramo, la fuerza es de 0,001x50/0,0001=500 Newton (una moneda de 50 kilogramos). En una balanza, la moneda pesa 0,001 kilogramos. La fuerza es entonces 0,01 Newton.

Así que tu cráneo tiene que dar una fuerza contraria a 50 kilogramos de manera efectiva. Por supuesto, esto es diferente a colocar una moneda de 50 kilogramos en tu cabeza. Caerías al suelo. Es una fuerza de impacto corta, pero suficiente para causar daños. Imagínense que arrojé una moneda de 50 kilogramos.

Por cierto, en realidad una moneda no puede hacer mucho daño. He visto lanzar una moneda desde un balcón alto de un hotel. Cerca de la piscina en el suelo, un hombre saltó en pleno asombro...