¿Se violan las Leyes de Kirchhoff en caso de campo magnético variable?

Depende exactamente de qué formulación desea utilizar para las leyes de Kirchhoff en situaciones no estáticas en las que tiene campos magnéticos dependientes del tiempo que impregnan su circuito. Sin embargo, si entiende que la ley de voltaje de Kirchhoff establece que la resistencia de tiempo actual de todos los elementos en un circuito cerrado debe ser igual a cero, entonces sí, esa declaración puede violarse en escenarios del mundo real.

El modelo mental del agua fluyendo por un canal para campos eléctricos es extremadamente útil en situaciones electrostáticas, donde su validez se deriva de la afirmación de que el campo electrostático es conservativo, es decir

$$\oint_C \mathbf E(\mathbf r)\cdot \mathrm d\mathbf l = 0 \tag{$*$}$$ (por lo tanto, es apropiado modelar esa fuerza con otras fuerzas conservativas, como la gravedad que impulsa el agua en un canal en esa analogía).

Sin embargo, cuando su situación ya no es electrostática y hay un flujo magnético cambiante que impregna su circuito, el campo eléctrico ya no es un campo vectorial conservativo y la relación$(*)$debe ser reemplazada por la ley de inducción de Faraday-Henry,

$$\oint_C \mathbf E(\mathbf r)\cdot \mathrm d\mathbf l = -\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \iint_S \mathbf B(\mathbf r) \cdot \mathrm d \mathbf S . \tag{$**$}$$ La afirmación de que hay un flujo magnético cambiante que impregna su circuito es equivalente a decir que el lado derecho de esa ecuación es distinto de cero, y la comprensión electrostática habitual de la ley de voltaje de Kirchhoff ya no es válida.

Ahora bien, existen de hecho algunas formas de conciliar estas declaraciones con el entendimiento habitual que nos permiten aplicar esa intuición a un conjunto más amplio de regímenes. Esto incluye, por ejemplo, con respecto al lado derecho de$(**)$como un EMF que actúa en todo el circuito y luego lo divide como de costumbre entre las resistencias del circuito. Este es particularmente el caso si la región de flujo se limita a una pequeña sección del bucle, por ejemplo, algo como esto,

y no vas a jugar con las partes internas de ese bucle. (Esto es, por ejemplo, exactamente lo que sucede si tiene un circuito de CA impulsado por un transformador). En tal situación, puede usar la ley de voltaje de Kirchhoff como de costumbre y tratar el subbucle más pequeño como un solo EMF, y todo funcionará bien. ; si conecta voltímetros en los terminales de sus resistencias, verá que la ley de voltaje funciona bien. Pero, por supuesto, si los conecta a partes del bucle interno (que es isomorfo a lo que ha hecho Lewin), verá las mismas desviaciones.

La clave para reconciliar esta discrepancia en la abstracción de elementos agrupados es considerar la inductancia del bucle como un elemento de circuito adicional. La ley de voltaje de Kirchhoff se deriva de la ley de Faraday que establece que en un circuito cerrado:

$$\oint_R {\vec E \cdot d\vec R} = - \int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S}$$ Dónde$S$es una superficie abierta cuyo límite es el lazo cerrado$R$. La integral de línea se puede descomponer en diferentes integrales de trayectoria, cada una atravesando un elemento de circuito específico: $$\int_A^B {\vec E \cdot d\vec R} + \int_B^C {\vec E \cdot d\vec R} + \int_C^D {\vec E \cdot d\vec R} + \int_D^A {\vec E \cdot d\vec R}= - \int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S}$$ Cada integral de ruta es el voltaje de su elemento de circuito asociado (que puede variar en el tiempo sin problema, ya especificamos una ruta al definir el bucle$R$). Por lo tanto: $$v_{AB} + v_{BC} + v_{CD} + v_{DA} = - \int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S}$$ Ahora, la fem del lado derecho se puede expresar en términos de la inductancia del bucle: $$\int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S} = L \frac{di_L}{dt} = v_L$$ Dónde$i_L$es la corriente de bucle, observe que esta fem tiene unidades de voltaje, por lo que podemos considerarla como el voltaje de un elemento agrupado específico llamado inductor , que es específico de cada bucle (y observe que el voltaje del inductor cae a cero en CC, porque$i_L$se vuelve constante). Podemos considerar este inductor como un elemento adicional del bucle, por lo que movemos este voltaje hacia el lado izquierdo y tenemos: $$v_{AB} + v_{BC} + v_{CD} + v_{DA} + v_L= 0$$ En general tenemos para cualquier ciclo: $$\sum_{k=1}^{n}{v_k} = 0$$ Que es la ley de voltaje de Kirchhoff.

Para resumir, la abstracción que está utilizando para modelar el experimento como un circuito está fallando porque no está siendo lo suficientemente detallado, debe incluir la inductancia del bucle, lo que le daría un bucle como este:

PD: Respondí una pregunta similar aquí , pero no puedo comentar, así que terminé desarrollando una respuesta adecuada.