¿Se satisfacen las hipótesis de la ecuación de Bernoulli para el ala de un ave o de un avión con un número de Mach bajo?

Primero en abordar la equivalencia de la ecuación de Bernoulli con la conservación de la cantidad de movimiento:

Hay (al menos) tres explicaciones populares para la sustentación en un perfil aerodinámico:

1. El aire más rápido en la parte superior tiene una presión estática más baja que el aire que se mueve lentamente en la parte inferior. La diferencia de presión resultante multiplicada por el área es igual a la elevación.

2. El perfil aerodinámico desvía el aire hacia abajo y, según la tercera ley de Newton, se aplica al ala una fuerza igual y opuesta (ascensor).

3. La circulación ligada en el ala genera sustentación debido al teorema de Kutta-Joukowski.

Los tres son equivalentes .

La ecuación de Bernoulli se deriva de la conservación del momento (ecuaciones de Navier-Stokes) con el supuesto de que la velocidad tiene una función potencial. El principio de Bernoulli es simplemente el mecanismo para aplicar la fuerza igual y opuesta al ala en la explicación #2.

Se requiere circulación para que haya alguna desviación hacia abajo del aire. Sin circulación, el flujo no saldría suavemente por el borde de salida. La circulación ligada es el resultado de la formación de capas límite en las superficies superior e inferior. (También como resultado de la conservación del impulso)

Para obtener una estimación decente de la curva de sustentación de un perfil aerodinámico en ángulos de ataque pequeños, se utilizan métodos de panel para resolver la velocidad tangencial en la superficie de un perfil aerodinámico. Esta velocidad tangencial luego se introduce en la ecuación de Bernoulli para obtener las presiones. Integrando la presión sobre la superficie del perfil aerodinámico podemos encontrar la sustentación.

Estos métodos de panel no son viscosos, pero agregan la cantidad justa de circulación para obtener una solución realista. (satisfaciendo la condición de Kutta)

Si bien las tres explicaciones anteriores son válidas, solo están reformulando la explicación insatisfactoria del motivo de la sustentación: la conservación del impulso.

Rango de aplicabilidad de la ecuación de Bernoulli

La versión incompresible de la ecuación de Bernoulli,$1/2 \mathbf{U}\cdot\mathbf{U} + p/\rho = const$, es válida:

• a lo largo de líneas de corriente
• a lo largo de líneas de vórtice (líneas paralelas a$\omega = \nabla \times \mathbf{U}$)
• y en todas partes en flujo irrotacional ($\omega = 0$)

(para más detalles, consulte el Capítulo 2 de Viscous Fluid Flows de Frank M. White)

En el caso de los aviones, puede trazar una línea de corriente muy por delante del avión hasta una región donde$\mathbf{U} = const$y por lo tanto$\omega = 0$. Esto significa que el$const$en la ecuación de Bernoulli es la misma en todas partes y la ecuación se puede usar para encontrar presiones en cualquier parte de la superficie del ala.

En la práctica, si se utiliza la ecuación de Bernoulli, las velocidades se encuentran por métodos de panel . (Si está haciendo una simulación viscosa, probablemente esté calculando las presiones directamente sin usar la ecuación de Bernoulli). Las velocidades del método del panel son análogas a la velocidad del borde en la parte superior de la capa límite cerca de la superficie. Cualquier buen libro de flujo viscoso mostrará que para las capas límite$dp/dy \approx 0$, dónde$y$está orientada normal a la superficie. Esto también es cierto para flujos compresibles hasta aproximadamente$M \approx 5$.

Este método de usar la ecuación de Bernoulli para encontrar las presiones (y por extensión, las fuerzas) sobre la superficie es una buena aproximación en muchos casos. Cuando los resultados no son precisos, normalmente se debe a información de velocidad inexacta. Por ejemplo, debido a su naturaleza no viscosa, los métodos de panel no son muy buenos para describir el flujo separado, como un perfil aerodinámico con un ángulo de ataque alto.

Compresible vs Incompresible

$M < 0.3$ya que el límite del flujo incompresible se cambia mucho, pero generalmente sin ninguna justificación. Considere el gas en reposo con densidad$\rho_0$que luego se acelera isentrópicamente al número de Mach$M$. La densidad del gas cambiará en este nuevo estado y viene dada por:

Resulta que en el aire$M \approx 0.3 \rightarrow \rho_0/\rho = 0.95$y luego se supone para fines prácticos que si la densidad cambia en no más del 5%, se puede suponer que el flujo es incompresible.

Tiene razón en que hay versiones comprimibles de la ecuación de Bernoulli. Los resultados de los cálculos que utilizan la ecuación compresible deben ser una buena aproximación siempre que las velocidades ingresadas sean precisas y las líneas de corriente se puedan rastrear en la corriente libre (es decir, no en el flujo separado).

Pensar en el principio de Bernoulli como opuesto a otra cosa no es correcto. El principio de Bernoulli se puede considerar como la razón del algo más .

Echa un vistazo a la explicación de John Denker . Es lo mejor que he visto.

La respuesta corta es que las hipótesis asumidas para la ecuación de Bernoulli no se cumplen para los aviones. (No puedo hablar por las aves ya que no las he estudiado en detalle). En particular,

• El aire no es incompresible y
• La energía no es constante: los motores del avión agregan energía al flujo de aire

Dicho esto, es "lo suficientemente cerca para los ingenieros": la ecuación de Bernoulli es lo suficientemente precisa en la práctica como para que se pueda usar como parte del cálculo de la sustentación. Entonces, creo que su opción (1) es la opción correcta (ligeramente reformulada):

La ecuación da un resultado aproximadamente correcto para la fuerza neta sobre el ala una vez que se conoce la velocidad del aire en la vecindad del ala, pero no existe una manera simple y obvia de calcular esas velocidades.

Huebner y Jagannathan abordaron este problema en una carta al American Journal of Physics ("Explicación de la sustentación aerodinámica en física introductoria" http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/56/9/10.1119/1.15757 ). Aquí hay un extracto:

Nuestras objeciones al uso de la ecuación de Bernoulli para explicar la sustentación aerodinámica en los textos introductorios de física son que da un mal ejemplo al ilustrar a los estudiantes que está bien (quizás incluso buena física) aplicar una ecuación a una situación en la que parece viola las condiciones asumidas al derivar la ecuación, y que no conduce a una comprensión clara de cómo los perfiles aerodinámicos generan sustentación.

La conclusión es que la ecuación de Bernoulli se puede utilizar como parte de una larga serie de cálculos para predecir la sustentación de un ala y estas predicciones son precisas, pero la ecuación de Bernoulli no explica realmente la física subyacente.

El principio de la ecuación de Bernoulli, según tengo entendido, se basa en el procesamiento intuitivo de la observación y las matemáticas. La observación en este caso es que el aire consiste completamente en moléculas, que son pequeños cuerpos rígidos bien definidos que solo pueden moverse en una dirección a la vez. Cuando una molécula golpea algo, esta colisión genera presión. A partir de ahí las matemáticas harán el trabajo, porque ver una molécula no es hacer un modelo, sino hacer una observación.

Un simple experimento mental lo explica: si una sola molécula con una velocidad fija golpea una superficie perpendicular, transferirá más energía que cuando golpea esa superficie en cualquier otro ángulo. Hacer que esa superficie se mueva en relación con la molécula, disminuirá ese ángulo, reduciendo así la presión sobre la superficie. Sería diferente si fuera posible simplemente agregar el vector de la superficie al de la molécula, pero es el hecho de que eso no es posible lo que provoca la equivalencia entre la presión estática y la presión dinámica.

Lo que dificulta predecir lo que sucede cuando se acerca a la velocidad del sonido es que no hay una explicación clara para esa velocidad. Hay constantes, pero lo que hace que sean esa constante permanece sin establecerse. Por lo tanto, cuando esas constantes comienzan a fallar cerca de la velocidad de transición, no ofrecen ninguna referencia para calcular.

Como consecuencia, la base de la ecuación principal de Bernoulli siempre se cumple, pero la principal en sí misma solo se cumple para todas las situaciones en las que la transición de fase no es un factor significativo.

A este respecto, las fórmulas ocultan los hechos. La mayoría de la gente simplemente no sabe cómo aceptar el hecho de que en realidad hay mucha menos presión involucrada en un catastrófico huracán de categoría 5 que en un día de verano con viento y sol. Está demasiado lejos, así que no puede ser cierto.