¿Se puede justificar rigurosamente matemáticamente el principio de Huygens?

Considere la expresión para la difracción de Fresnel. El campo eléctrico viene dado por:

Esencialmente, esta es la superposición de ondas esféricas, emitidas por cargas puntuales que se colocan a lo largo de toda la apertura. Este es exactamente el principio de Huygens.

Claramente, las ecuaciones de Maxwell justifican el principio de Huygens, ya que la fórmula de difracción de Fresnel es una consecuencia directa de la ecuación de onda, que es una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell.

Si bien en este caso lineal (siendo 'lineal' una palabra clave) el principio de Huygens está justificado, esto no significa que necesariamente sea siempre cierto.

El principio de Huygens no es exactamente cierto. Esto se discute en 'Óptica' de Sommerfeld. El problema es, por ejemplo, para una pantalla absorbente con agujeros, la función de Green utilizada para el principio de Huygens no cumple la condición de contorno. Habría que resolver exactamente las ecuaciones de Maxwell. Desafortunadamente, se conocen muy pocas soluciones exactas, una dada también por Sonmerfeld. Esta solución muestra que la desviación del principio de Huygens es solo del orden de unas pocas longitudes de onda desde el límite. Para una cuenta moderna sobre la solución exacta, también puede consultar la introducción de Thirring a la física matemática.

El principio de Huygens se puede formular rigurosamente como una declaración sobre las singularidades y las propiedades de soporte de los operadores de Green de la ecuación de onda.$\phi\in C^{\infty} (\mathbb{R}^4)$tal que:

a)$-\partial_{tt}\phi+\Delta\phi=f$

b)$\phi(0,x)=0$

C)$\partial_t\phi(0,x)=0$

para$f\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^4)$(fuentes lisas de apoyo compacto).

que tal solución$\phi$existe, es único y depende continuamente con respecto a la fuente es equivalente a mostrar buena postura. Para más detalles puedes ver esto .

De hecho, uno puede definir un núcleo integral$G(t,x;s,y)$tal que

$\phi(s,y)=\int_{\mathbb{R}^{4}} G(t,x;s,y)f(t,x)$

$G(t,x;s,y)$corresponde al propagador verde avanzado. Los otros dos son los operadores de Green asociados al problema no homogéneo hacia atrás (función de Green retardada) y al problema homogéneo de valor inicial (propagador causal).

Usando técnicas de análisis microlocal o encontrando explícitamente$G(t,x;s,y)$uno puede demostrar que$G(x,t;s,y)$se desvanece excepto en el pasado cono de luz el punto$(x,t)$es decir$G(x,t;s,y)=0$si no hay una geodésica nula dirigida por el pasado entre$(x,t)$y$(s,y)$. Note, esto implica que el soporte singular de$G$es el cono de luz pasado.

Puedes ver la fórmula explícita aquí . Tenga en cuenta que la fórmula dada allí es solo una parte de la fórmula completa para el propagador causal y, por lo tanto, el soporte singular es diferente del descrito anteriormente. Una formulación precisa es la Ecuación 4.5.4 en Friedlander

Además, se puede ver en la fórmula que la introducción de un término de masa no permite que se cumpla el principio de Huygens.

La afirmación de que el apoyo de$G$es sólo el pasado cono de luz de$(x,t)$puede entenderse como una formulación rigurosa del principio de Huygens.

En un espacio-tiempo curvo general, es decir, cuando estamos resolviendo$\square_g \phi=f$con cero datos iniciales en una hipersuperficie de Cauchy$\Sigma$en un espacio-tiempo globalmente hiperbólico$(\mathbb{R}\times\Sigma, g)$. el apoyo de$G$es todo el pasado causal. Sin embargo, todavía se puede mostrar que el apoyo singular de$G$es sólo el pasado cono de luz.

Por lo tanto, en general, el principio de Huygens no se cumple. Se necesitan condiciones específicas sobre la geometría de$g$. es suficiente que$g$es plano o un espacio-tiempo de onda plana. Además, el principio depende de la dimensionalidad del espaciotiempo. por ejemplo si$n$es impar el principio no es válido. Puede encontrar pruebas precisas en Friedlander .

En cuanto a su conexión con las ecuaciones de Maxwell. Quisiera comentar lo siguiente.

He establecido el principio de las ecuaciones de ondas escalares. Sin embargo, se puede generalizar el enfoque de las ecuaciones de onda tensorial. De la misma manera, con opciones de calibre adecuadas, las ecuaciones de Maxwell se pueden formular como una ecuación de onda tensorial.

El principio afirmaría que podemos leer el valor del campo electromagnético en un punto$p$en espaciotiempos planos incluso conociendo solo la información del campo electromagnético en el pasado cono de luz del punto$p$.

El fracaso del principio para espaciotiempos curvos o planos impares significa que la diferencia entre el valor de la solución y el valor de una aproximación que considera solo información sobre los conos de luz no es cero. Además, el singular comportamiento de$G$en el cono de luz implica que esta diferencia es una función suave en$(x,t)$. Podemos reafirmar esto como la afirmación de que el comportamiento singular del campo electromagnético (los lugares donde no es suave) viaja a la velocidad de la luz. El campo electromagnético puede dejar de ser suave como consecuencia de considerar que la métrica del espacio-tiempo o las distribuciones cargadas son suaves.

Estas diferencias se pueden utilizar para caracterizar las faltas de homogeneidad de un medio.