Schengen 89 días en cada país, 1 pasaporte de la UE, resto de pasaportes de EE. UU.

1. Dado que uno de nosotros es ciudadano de la UE, ¿toda la familia no tiene que cumplir con la regla Schengen de 90/180 días?

2. ¿Estoy en lo cierto al suponer que no tenemos que solicitar una tarjeta de residencia si nos quedamos solo 89 días en España, luego cruzamos a Francia y pasamos otros 89 días allí, luego Alemania durante 89 días, aunque nadie obtenga un pasaporte? sello que prueba que fuimos a un país Schengen diferente?

Eso es correcto, véase, por ejemplo, estancia más larga en la UE para parejas de jubilados

3. Dado que pasamos menos de 6 meses en un solo país de la UE, no somos residentes fiscales de ningún país de la UE y solo pagamos impuestos sobre la renta de EE. UU.

Podría ser más complicado que eso. Por ejemplo, si Francia es el país donde permanece más tiempo en un año fiscal determinado (sin ninguna referencia a un umbral específico como 6 meses), creo que técnicamente podría ser considerado residente a efectos fiscales. Pero sin una dirección fija, propiedad o ingresos, no estaría demasiado preocupado.

4. ¿En algún momento se nos exigirá que obtengamos un seguro de salud aprobado por la UE?

Si permanece menos de 90 días en un país determinado, no se le puede exigir que tenga un seguro. Si te quedas más de 90 días, el país puede hacerlo, pero dependerá de la legislación nacional. No existe un requisito en toda la UE o un seguro médico "aprobado por la UE" (aparte del requisito de seguro médico de viaje para las visas de estadía corta Schengen, pero eso obviamente no se aplica a usted ni a su familia).

5. Nosotros educamos a nuestros hijos en casa, ¿permanecer menos de 90 días en Alemania crearía algún problema cuando se trata de que Alemania tenga educación obligatoria para los niños?

Ni idea. Alemania no es el único país con escolarización obligatoria.

6. ¿Tendría que presentar mi pasaporte polaco en lugar de estadounidense cuando vuele a la UE o cuando alquile apartamentos a través de airbnb?

No creo que importe tanto como la gente cree, pero presentarlo parece más conveniente. Independientemente de lo que haga en la frontera, esté preparado para establecer tanto su ciudadanía como su relación con su familia (esto podría significar llevar una copia de su certificado de matrimonio) en un momento posterior.

Como 5:

Alemania:
si bien cada estado tiene sus propias regulaciones, aparentemente en todos ellos solo se aplica a las personas con Wohnsitz (es decir, residencia permanente) allí. (Un ejemplo: http://www.landesrecht-bw.de/jportal/?quelle=jlink&query=SchulG+BW&psml=bsbawueprod.psml&max=true&aiz=true#jlr-SchulGBW1983V40P72 ).

Para hacer un Wohnsitz más claro: para tener eso, necesitas

• a Aufenthaltserlaubnis , que no tiene mucho sentido para tiempos inferiores a 3 meses. (o un Niederlassungserlaubnis o incluso la naturalización como ciudadano alemán, pero normalmente no están disponibles sin tener un Aufenthaltserlaubnis )
• alquilar o comprar algo para vivir
• para registrar eso como su residencia permanente
• si se alquila (y no se compra), el registro necesita la cooperación del propietario. Los hoteles no harán esto.

Tldr, con menos de 3 meses en Alemania, no necesita hacer nada sobre las escuelas.

...

Como dijo Relaxed, otros países (incluidos España y Francia) también tienen la escolarización obligatoria; pero puede esperar que las leyes pertinentes sean razonables en todos los países.