Respuesta escalonada de HPF de segundo orden

El doble cero en$s\small =0$da lugar al rebrote.

Para facilitar el análisis, es mejor normalizar el TF a$\omega_n=1$, así dividir$\omega_n$por$\small 1000$dar:

Multiplicar por$\dfrac{1}{s}$para obtener la respuesta al escalón:$R(s)=s\left(\dfrac{1}{s^2+3s+1}\right)$

Ahora encuentre la transformada inversa de Laplace del término entre paréntesis y luego diferencie (multiplique por$s$= diferenciación) para determinar$\small r(t)$, de este modo:

esto comienza en$\small r(0)=1.0$, luego cae a un mínimo (undershoot),$\small r(1.72)=-0.0755$, y se establece en$\small r(\infty)=0$

Finalmente, escala el eje de tiempo por el factor de normalización,$\small 1/1000$, dando el rebrote de$\small -0.0755$en$\small t=1.72ms$

He repetido este procedimiento con un RC LPF pasivo de segundo orden (mismos valores R y C) y no veo ningún exceso. Esto está de acuerdo con mi intuición. ¿Por qué el HPF es diferente?

No es lo mismo que el sobreimpulso que obtendría de un filtro de paso bajo de segundo orden con zeta por debajo de la unidad.

Ha creado un filtro de paso alto y no puede pasar CC, por lo que encontrará que el área de la forma de onda por encima de cero es exactamente igual al área de la forma de onda por debajo de cero. Esto es lo que hace un filtro de paso alto y no tiene nada que ver con la amortiguación.

¿Diría que un filtro de paso alto simple de primer orden tiene un sobreimpulso debido a problemas de relación de amortiguación: -

En mi opinión, la respuesta no es tan sencilla como parece a primera vista. Las siguientes consideraciones son más o menos generales y no se adaptan únicamente al circuito dado.

Creo que podríamos (¿debemos?) usar la transformación de paso bajo a paso alto para ver qué sucede. Esta transformación consiste en una inversión simple de la variable de frecuencia compleja "s". Eso significa: en la función de transferencia de paso bajo correspondiente reemplazamos "s" bei "1/s".

Como siguiente paso, consideramos la respuesta al impulso h(t) que no es más que la transformada inversa de LAPLACE de la función de transferencia de paso alto H(1/s). Más que eso, sabemos que la respuesta escalonada g(t) es igual a la integral de tiempo sobre h(t) que, en el dominio de la frecuencia, es equivalente a una multiplicación con (1/s). Por lo tanto, tenemos que encontrar la transformada inversa de LAPLACE para una función " H(1/s)/s ".

Ahora, puede demostrarse que la transformada inversa de LAPLACE para tal expresión contiene el producto de (a) la respuesta de impulso de paso bajo h(t) y (b) la función de Bessel de orden cero Io, que es la causa del subimpulso observado ( la función de Bessel Io exhibe un comportamiento oscilatorio). La derivación matemática exacta es bastante complicada (y se puede encontrar, por ejemplo, en Claude S. Lindquist: Active Network Design).

EDITAR: para una comprensión mejor y más "intuitiva", es útil recordar que cualquier paso alto tiene, en principio, un comportamiento "diferenciador" que no sea un paso bajo con propiedades de integración. Eso significa que es la PENDIENTE de las variables de estado dentro del circuito lo que importa y determina la forma de la respuesta al escalón. Por lo tanto, dependiendo de las constantes de tiempo, podemos tener rebasamientos insuficientes, pequeños o incluso grandes.