Respuesta de frecuencia de un circuito complejo

Aquí hay un intento de encontrar una solución analítica (y cómo se vuelve fea):

Sin ningún RC (fácil)

$$R_0 = R_1 + R_2$$

Con un RC (usando Z para impedancia de ahora en adelante)

$$Z_1 = R_1 + X + R_2$$

con

$$X = R||Z_c=\frac{R \times Z_c}{R + Z_c}$$

y

$$Z_c = \frac{1}{j\omega C}$$

Con dos RC + adicional$R_1$y$R_2$(poniéndose feo ahora)

$$Z_2 = R_1 + (X + R_2)~||~(R_1 + X) + R_2$$

El problema con tales circuitos es que las cosas se agregan tanto en paralelo como en fila, lo que generalmente no se simplifica fácilmente.

Esto se convierte en un problema en el siguiente paso al agregar un tercer RC (que se está poniendo muy feo ahora).$R_2$está en fila, pero$R_1 + X$es en paralelo (bueno, parcialmente, al menos). En el centro del problema, tienes dos triángulos que comparten un borde.

Lo genial (genial como en "hace posibles cosas muy feas, no más hermosas") es que puedes convertir triángulos en estrellas

Eche un vistazo a esta imagen y su esquema:

[imagen de aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Wye-delta-2.svg ]

El objetivo es convertir el lado derecho (triángulo) del circuito en una estrella. La imagen corresponde de la siguiente manera a su esquema:

$$R_b = X ~(the~ one~ in~ the~ middle)$$

$$R_a = R_1 + X ~(the~ right~ most~ R_1~ and ~the~ rightmost~ X)$$

$$R_c = R_2 ~(the~ middle~one~ )$$

Después de la conversión, la Z es más sencilla de calcular. Para evitar confusiones con los índices, agrego el término "triángulo" a cada índice 1,2,3 que corresponde a los de la imagen de arriba.

$$Z_3 = R_1 + (R_1 + R_{3,triangle})~||~(X + R_2 + R_{1,triangle}) + R_{2,triangle} + R_2$$

Con esas fórmulas (según el artículo de wikipedia anterior)

$$R_{1,triangle} = \frac{X R_2}{R_{sum}}$$ $$R_{2,triangle} = \frac{(R_1+X) R_2}{R_{sum}}$$ $$R_{3,triangle} = \frac{(R_1+X) X}{R_{sum}}$$ $$R_{sum} = X + R_1 + X + R_2 = R_1 + R_2 + 2X$$

Usted obtiene

$$Z_3 = R_1 + \left(R_1 + \frac{(R_1+X) X}{R_{sum}}\right)~||~\left(X + R_2 + \frac{X R_2}{R_{sum}}\right) + \frac{(R_1+X) R_2}{R_{sum}} + R_2$$

No debería sorprendernos en este punto que$Z_4$no sera mas lindo. Este no es el camino a seguir si su objetivo es una fórmula para$Z_n$

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Para obtener una fórmula$Z_n$, desea emplear estrategias más sistemáticas de análisis de red. Eche un vistazo al análisis de malla (n+1 significa agregar otra malla) y/o la teoría de dos puertos (n+1 significa agregar otros dos puertos a la cadena).

Estoy un poco oxidado con eso, por decir lo menos, pero espero que sean un punto de partida para ti.

Ha pasado demasiado tiempo desde que resolví problemas de este tipo, pero me trae buenos recuerdos. Por eso:

Para una solución analítica, intente dibujar este circuito en una configuración más de estrella y vea si ve algo (maneje la combinación RC simplemente como una impedancia Z compleja y piense en todo como una resistencia compleja para no confundirse).

¿Ves algo? Si no, intente aplicar una transformación Y-Δ, para ver si termina con algo más apetecible.

¿Aún nada? Kirchhoff es tu amigo. La ley de corriente y la ley de voltaje de Kirchhoff le permitirán establecer algunas de las propiedades del circuito en forma de ecuación. Los voltajes a lo largo de cualquier bucle cerrado suman cero, al igual que las corrientes que entran y salen de cualquier nodo.

La solución está en algún lugar a lo largo de este camino.

Para simularlo, modificaría un script que toma n como parámetro además de R1, R2, R y C y genera el circuito. Luego introdúzcalo en su simulador. Pruebe algunos valores de n y observe si algo converge.

Escribí un programa para resolver esto después de que una de las respuestas anteriores me convenciera de que funcionaría.

(En estos esquemas, estoy dibujando resistencias para representar impedancias complejas. También estoy combinando la resistencia y el capacitor en un bloque como

$$Z_{RC} = \frac{1}{j\omega C} \big|\big| R$$ .)

Si mantenemos un total acumulado de la impedancia, podemos comenzar eliminando$R_1$y$R_2$fuera de los extremos. Entonces, el circuito es

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

El bloque más a la izquierda parece

^{simular este circuito}

dónde

$$Z_{top} = R_1$$ $$Z_{bottom} = Z_{RC} + R_2$$ de la Y- $\Delta$transform, esto se puede cambiar en

^{simular este circuito}

para que podamos agregar$Z_A$sobre la impedancia total y ajuste

$$Z_{top} = Z_B + R_1$$ $$Z_{bottom} = Z_C + R_2$$ lo que nos devuelve al circuito original con uno menos $Z_{RC}$rama. Este proceso puede continuar hasta que lleguemos a la última rama:

^{simular este circuito}

donde podemos agregar$(Z_{top} + Z_{RC}) || Z_{bottom}$a la impedancia. Este procedimiento parece darme respuestas numéricas correctas, pero no puedo imaginarme obtener una buena fórmula simbólica.