Resolviendo la ecuación de Young-Laplace para geometría axisimétrica arbitraria

Calcular la presión de Laplace para una superficie determinada implica un poco de matemática, pero no es particularmente difícil. Para la curvatura en coordenadas cartesianas, obtendrá el siguiente monstruo de una ecuación diferencial parcial de segundo orden no lineal:

$$\frac{\Delta P}{\gamma}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\frac{\partial_{xx}z\left[1+\left(\partial_yz\right)^2\right]-2\left(\partial_xz\right)\left(\partial_xz\right)\left(\partial_{xy}z\right)+\partial_{yy}z\left[1+\left(\partial_xz\right)^2\right]}{\left[1+\left(\partial_xz\right)^2+\left(\partial_yz\right)^2\right]^{3/2}}$$

Como PDE con condiciones de contorno, esto es muy difícil de resolver, pero si tiene una superficie dada, es decir$z(x,y)$debería ser sencillo calcular la presión de Laplace para cualquier posición dada$(x,y)$en esa superficie.

Si está interesado en algunas simplificaciones de esta ecuación (por ejemplo, 2D), consulte las páginas 27 y siguientes de este documento sobre capilaridad y humectación . Proviene de un curso de posgrado sobre el tema.

Siempre tendrá una curvatura local para su curva 2D. A partir de las coordenadas de los puntos adyacentes del dominio discretizado, puedes calcular esta curvatura .

El segundo radio de curvatura se puede obtener usando la distancia al eje de alguna manera. (El enlace que proporcionaste da algunas pistas al respecto)

Pero hay que tener cuidado al determinar la presión dentro de la burbuja. El problema que estás estudiando no es de estado estacionario. Verá que hay diferencias de presión dentro de la burbuja, que eventualmente forzarán a la burbuja a adoptar un estado esférico.