¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento de un agujero en una pompa de jabón?

Deje que el anillo grande se coloque verticalmente. Para simplificar, considere una cuerda sin peso, cuyo espesor es igual al espesor de la película. Además, suponga que el agujero está bastante lejos del borde del anillo para que podamos ignorar los fenómenos superficiales de la película. Entonces, la velocidad del orificio ascendente se puede estimar de la siguiente manera:

La fuerza de flotación que actúa sobre el agujero:

$$F_b=\rho gV=\rho g\pi R^2h$$ dónde $\rho$es la densidad del agua, $g$es la aceleración de la gravedad, $R$es el radio del agujero y $h$es el espesor de la película.

A continuación, necesitamos una fórmula para el arrastre en el agujero en movimiento. Podemos usar una fórmula para un cilindro infinito, que se mueve lentamente en un fluido, perpendicular a su eje:

$$F_d=\frac{4\pi\eta v}{\ln\frac{3.7\nu}{Rv}}$$ dónde $\eta$es la viscosidad dinámica y $\nu$es la viscosidad cinemática del agua.

Este es el arrastre por unidad de longitud del cilindro. La derivación de la fórmula se da, por ejemplo, en: H.Lamb, Hydrodynamics .

Ahora, igualando la fuerza de flotación y la fuerza de arrastre obtenemos una ecuación para la velocidad creciente$v$del agujero:

$$gR^2=\frac{4\nu v}{\ln\frac{3.7\nu}{Rv}}$$ Aquí usamos la fórmula $\nu=\frac{\eta}{\rho}$. Esta es una ecuación trascendental.

Para obtener alguna estimación usamos$\nu=0.01\frac{cm^2}{s}$a$20^\circ C$y$g=1000\frac{cm}{s^2}$. Introduzcamos una nueva variable.$x=\frac{3.7\nu}{Rv}$. Entonces la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

$$x\ln x=\frac{14.8\nu^2}{gR^3}$$ Ahora hemos visto que $x\approx 1$se cumple para todos los valores reales del radio del agujero $R$. Eso significa que obtenemos una estimación simple para $v$:

$$v=\frac{3.7\nu}{R}$$ Por ejemplo, un agujero con radio $R=1cm$se mueve hacia arriba con velocidad $v=0.037\frac{cm}{s}\approx 0.4\frac{mm}{s}$