Repulsión y atracción de corrientes eléctricas.

Dejaría la relatividad especial fuera de escena. Quiero decir: el magnetismo es un efecto relativista, en el sentido de que surge de la aplicación de la relatividad (especial) a la electrostática, pero su relación es más conceptual y puede merecer una nueva pregunta enteramente dedicada al tema. Para resumir, no necesitas la relatividad especial para comprender las fuerzas magnéticas.

Todo lo que necesitas saber es que cuando una partícula cargada$q$se mueve a una velocidad$\mathbf{v}$a través de un campo eléctrico$\mathbf{E}$y un campo magnetico$\mathbf{B}$, experimenta la fuerza de Lorentz

$$\mathbf{F_L} = q( \mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$$

Esta es la ecuación fundamental de la electrodinámica, junto con las ecuaciones de Maxwell.

Ahora, un cable que transporta corriente generalmente se considera neutral en general (es decir, la cantidad de electrones e iones es la misma para que la carga neta sea cero), por lo que puede tomar el campo eléctrico$\mathbf{E} = 0$.

Entonces, estás tratando con una corriente, no con una sola carga. Cómo obtener la ecuación anterior en términos de la corriente$I$?

la corriente electrica$I$se define como$\frac{dq}{dt}$dónde$q$es la carga eléctrica. La velocidad se define como$\frac{d\mathbf{l}}{dt}$dónde$d\mathbf{l}$es el elemento de trayectoria en la dirección de la corriente (o de la trayectoria de la carga).

Entonces, la fuerza infinitesimal sobre una carga infinitesimal$dq$es$d\mathbf{F_L} = dq( \mathbf{v}\times\mathbf{B})$, dónde

$$dq\cdot\mathbf{v} = dq\cdot\frac{d\mathbf{l}}{dt} = \frac{dq}{dt} d\mathbf{l} = Id\mathbf{l}$$ .

Para obtener la fuerza total, simplemente integre a lo largo del camino definido por$d\mathbf{l}$:

$$\mathbf{F_L} = \int_L I d\mathbf{l}\times\mathbf{B}$$

DE ACUERDO. Pero tienes dos cables. Y sabe que un cable que transporta corriente genera un campo magnético, dado por (suponiendo que el cable está en línea recta):

$$B_{\phi} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r}$$ lo que significa que es sólo en la tangencial ( $\neq$dirección radial. La dirección del campo viene dada por la regla de la mano derecha, alinee su pulgar derecho con la dirección actual y sus dedos le dirán la dirección del campo magnético. Esta fórmula se obtiene mediante la ley de Ampère.

Si los dos cables están en línea recta y están separados por una distancia$d$, el valor del campo magnético debido a uno en la posición del otro es$B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{d}$. Suponga que los cables transportan corrientes iguales y constantes$I$.

Usando esto como el campo magnético en la fuerza de Lorentz, obtienes una fuerza de

$$|\mathbf{F}| = I\cdot(\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{d})\cdot \int_L dl = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I^2}{d}\cdot L$$ dónde $L$es la longitud de los alambres, o una fuerza por unidad de longitud de $$|\mathbf{F}| = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I^2}{d}$$ .

$d\mathbf{l}$puntos a lo largo de la corriente: use esto y el producto cruzado en la ecuación de fuerza de Lorentz para obtener la dirección de la fuerza resultante. Si las corrientes son paralelas, la fuerza es de atracción, mientras que si son opuestas, la fuerza es de repulsión. Las magnitudes de las fuerzas son las mismas, ya que sólo dependen de la separación de los hilos$d$y en la corriente$I$.

Tenga en cuenta que el otro cable ejercerá exactamente la misma fuerza sobre el puño, debido a la ley de movimiento III de Newton.