¿Matemáticamente imposible que una línea de vórtice tenga cabos sueltos?

Un vórtice se define como una región dentro de un fluido donde el flujo es principalmente un movimiento giratorio alrededor de un eje imaginario, recto o curvo. Matemáticamente, esto se define como el rotacional del campo de velocidad,$\mathbf{v}$:

$$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}$$

Si consideramos la fuerza del tubo de vórtice como

$$\Gamma=\int\boldsymbol\omega\cdot d\mathbf S$$ dónde $\mathbf{S}$es el área de la sección transversal del tubo, entonces a través del teorema de Gauss , lo anterior es $$\Gamma=\int\nabla\cdot\boldsymbol\omega\,dV$$ pero como la divergencia del rotacional es idénticamente cero , entonces $\Gamma=0$lo que significa que la fuerza de la vorticidad es constante en todas partes. Dado que el área de la sección transversal no puede disminuir a cero, entonces debe ser que la vorticidad termina en el infinito o es un bucle cerrado (este es básicamente el segundo teorema de Helmholtz ).