¿Qué tan lejos llegaré si estoy, justo por debajo de la velocidad de escape?

Estás hablando de una órbita elíptica alrededor de la tierra. Dos puntos en esta elipse son de interés.

Perigeo: punto de la órbita más cercano a la tierra. Apogeo: punto de la órbita más alejado de la Tierra

Si estás lanzando desde la superficie de la tierra, el perigeo estaría a 6378 km del centro de la tierra. (6378 es el radio de la tierra). Para este problema haré como que no hay atmósfera terrestre.

El apogeo es lo que te interesa, el punto más alejado de la tierra.

La ecuación de vis viva es una buena herramienta para encontrar la velocidad:

$$v=\sqrt{Gm(2/r-1/a)}$$

¿Qué es un? Ese es el eje semi-mayor. Podemos encontrar a tomando el promedio de la distancia del perigeo desde el centro y la distancia del apogeo desde el centro de la tierra.

Aquí hay una foto de las cosas que he descrito hasta ahora:

Estamos interesados ​​en la velocidad cuando el objeto deja la Tierra, por lo que r sería 6378 km.

Echemos un vistazo a la cuestión de vis viva de nuevo:

$$v=\sqrt{Gm(2/r-\mathbf{1/a})}$$

Noté que puse en negrita el término que usa la cantidad del semieje mayor. ¿Qué sucede cuando a se vuelve realmente grande? 1/a se acerca cada vez más a cero.

Entonces, para apogeos altos, tienes algo muy cercano a

$$v=\sqrt{Gm(2/r)}$$

que es la velocidad de escape.

¡"Just a hair under escape" describe una multitud de elipses!

Por ejemplo, imaginemos una elipse cuyo apogeo llega a EML1, aproximadamente 5/6 del camino a la luna. Ahora comparémoslo con una elipse cuyo apogeo se extiende hasta Sol-Tierra L2, a unos 1,5 millones de kilómetros de distancia. ¡Las velocidades del perigeo de estas dos elipses difieren en solo 0,11 km/s!

Pero cuando obtienes apogeos tan altos, la mecánica de 2 cuerpos ya no es un buen modelo. Las influencias gravitatorias de la luna y el sol son suficientes para desviar el objeto de una trayectoria elíptica. Lance algo tan alto como SEL2 y es probable que el sol arrebate el objeto de la esfera de influencia de la Tierra.

No llegarías muy lejos, ya que eso no te permitiría escapar del sistema Tierra-Luna. Su velocidad de escape es lo que necesitaría en la superficie de la Tierra solo para escapar de la Tierra. (Yo obtengo$11.18\,\mathrm{km/s}$.) Para escapar del sistema Tierra-Luna, necesitarías$11.25\,\mathrm{km/s}$.

Para un escape de un cuerpo, si parte del radio$r$con$1-\epsilon$veces la velocidad de escape, y usted se está alejando directamente del centro del cuerpo con esa velocidad, luego por un pequeño$\epsilon$llegarás a$r\over 2\epsilon$antes de retroceder.

Derivación, comenzando con la velocidad$v$en el radio$r$, apenas por debajo de la velocidad de escape:

$$v_e^2={2\mu\over r}$$ $$v=v_e\left(1-\epsilon\right)$$ $$v^2={2\mu\over r}\left(1-\epsilon\right)^2$$

Relacionando la velocidad con el periapsis y la apoapsis utilizando la conservación de la energía:

$$v^2=2\mu\left({1\over r}-{1\over r_p+r_a}\right)$$

Para una trayectoria que se aleja directamente del centro del cuerpo, utilice un periápside de cero:

$$v^2=2\mu\left({1\over r}-{1\over r_a}\right)$$

Después:

$${2\mu\over r}\left(1-\epsilon\right)^2=2\mu\left({1\over r}-{1\over r_a}\right)$$ $${1\over r}\left(1-\epsilon\right)^2={1\over r}-{1\over r_a}$$ $$\left(1-\epsilon\right)^2=1-{r\over r_a}$$

Para pequeños$\epsilon$:

$$1-2\epsilon\approx 1-{r\over r_a}$$ $$2\epsilon\approx {r\over r_a}$$ $$r_a\approx {r\over 2\epsilon}$$

Entonces, en el caso de que cometa el error de usar la velocidad de escape de la Tierra sin tener en cuenta la Luna, entonces$\epsilon$es sobre$0.006$. Entonces te acercarías$500,\!000\,\mathrm{km}$de la Tierra antes de retroceder. Un poco más lejos que la Luna. Sin embargo, eso supone que la Luna no está cerca de su camino. Si es así, entonces podría a) darle suficiente energía para escapar por completo, o b) enviarlo de regreso a la Tierra con menos energía.

En el espíritu de su ejemplo, por ejemplo, si asume que$11.2\,\mathrm{km/s}$es exactamente la velocidad de escape, entonces su$\epsilon$es sobre$10^{-7}$. Así que te alejarías unos 36 mil millones de kilómetros (¡240 UA!). Sin embargo, otros cuerpos como el Sol, Venus, Júpiter y el reencuentro con el sistema Tierra-Luna alterarían su curso mucho antes.

La forma más fácil de calcular esto es usar energía orbital específica . La siguiente cantidad se conserva en el tiempo:

$$\frac{v^2}{2} - \frac{G(M+m)}{r}$$

dado que la masa de una nave espacial es insignificante en comparación con la masa de la Tierra, podemos omitir$m$.

El punto más lejano al que podemos llegar es cuando consumimos toda la energía cinética, por lo que$v=0$. Conociendo la velocidad$v$en la superficie de la tierra$R$, obtenemos

$$\begin{equation} \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R} = - \frac{GM}{r_{\mbox{max}}} \end{equation}$$

Para la velocidad de escape$v_e$tenemos$r_{\mbox{max}}=\infty$asi que

$$\frac{v_{e}^2}{2} - \frac{GM}{R} = 0$$

lo que lleva a

$$\frac{GM}{R} = \frac{v_{e}^2}{2}$$

dónde$R$es el radio de la Tierra.

Sustituyendo esto en la ecuación de$r_{\mbox{max}}$, obtenemos

$$\frac{v^2}{2} - \frac{v_{e}^2}{2} = - \frac{GM}{r_{\mbox{max}}}$$ y $$r_{\mbox{max}} = \frac{2GM}{v_{e}^2 - v^2}$$

Sustituyendo la velocidad que pediste y el parámetro gravitacional estándar de la Tierra, obtenemos (en km)

$$r = \frac{2 \times 398600.4419}{11.2^2-11.199999^2} \doteq 3.56\times 10^{10}$$

que es aproximadamente$238 \mbox{AU}$.

(Por supuesto, ignoramos por completo el efecto de todos los demás cuerpos celestes).