¿Qué tan grande puede llegar a ser un molinete/planeta manteniendo la gravedad en su ecuador capaz de sobrevivir a los humanos?

Tu planeta probablemente no pueda permanecer unido si gira tan rápido como lo solicitas.

No puedo calcular la tasa de rotación correcta para mantener una forma específica para un panel de una masa específica, ni la tasa de rotación correcta para reducir la gravedad superficial en el ecuador a 1 g . Así que, por supuesto, no puedo diseñar un planeta en el que esas dos velocidades de rotación sean la misma, lo que hace posible que exista tal planeta. Tal vez alguien más pueda hacerlo por ti.

Sin embargo, he podido calcular que probablemente sea imposible que un planeta permanezca unido si tuviera un período de rotación de media hora. Cualquier planeta grande y achatado tendría una velocidad de rotación ecuatorial mayor que su velocidad de escape si girara tan rápido. No dijiste que el planeta tenía que ser habitable para los humanos. Pero sí requirió que el planeta tuviera que: 1) tener una gravedad superficial en el ecuador a la que pudieran sobrevivir los humanos, y 2) ser lo más grande posible: se mencionó la masa de Júpiter.

Bien, ahora me doy cuenta de que la pregunta requiere 1 g de gravedad superficial en el ecuador. Así que no tengo que considerar cuál es la gravedad superficial más alta que los humanos pueden tolerar.

La masa de Júpiter es aproximadamente 317,8 veces la masa de la Tierra, por lo que deberíamos hacer que la masa del planeta sea 300 veces la masa de la Tierra por simplicidad.

Supongamos por el momento que el planeta de alguna manera tiene una densidad superficial promedio igual a la de la Tierra, 5,514 gramos por centímetro cúbico. Suponga que tiene la forma de un cilindro muy plano. Suponga que su espesor es aproximadamente igual al diámetro de la Tierra, 12.742 kilómetros.

Para tener 300 veces la masa de la Tierra y la misma densidad promedio que la Tierra, el planeta tendría que tener 300 veces el volumen de la Tierra.

Una esfera con el radio de la Tierra tiene un volumen de 4,18879 radios terrestres cúbicos.

calculadora de volumen de esfera

Un cilindro con el radio de la Tierra y una altura de 2 radios terrestres tiene un volumen de aproximadamente 6,28 radios cúbicos de la Tierra, aproximadamente 1,499 veces el volumen de una esfera con el radio de la Tierra.

https://www.omnicalulator.com/math/cilindro-volumen

300 dividido por 1,499 es aproximadamente 200,13342. La raíz cuadrada de 200,13342 es aproximadamente 14,146581. Entonces, un cilindro plano con un radio de 14.146581 radios terrestres y una altura de 2 radios terrestres (I diámetro terrestre) debería tener un volumen de 300 volúmenes terrestres.

La calculadora de volumen de cilindros le da a dicho cilindro un volumen de 1257,43 radios terrestres cúbicos, o 300,18931 veces el volumen de la Tierra. Así que tal cilindro tendría 2 radios terrestres o 12.742 kilómetros de "alto" y tendría un radio de 90.127,867 kilómetros y un diámetro de 180.255,73 kilómetros.

El radio medio de la Tierra es de 6.371 kilómetros, pero varía entre 6.356,752 kilómetros en los polos y 6.378,137 kilómetros en el ecuador, una diferencia de 21,385 kilómetros. La Tierra es achatada porque gira, y el movimiento más rápido en el ecuador levanta la superficie de la Tierra y reduce un poco la gravedad superficial allí.

El mundo con forma de panqueque tendría que girar rápidamente para mantener su forma. De lo contrario, su gravedad lo atraería hacia una esfera con un radio de aproximadamente 6,69573724 radios terrestres.

Pero supongamos que no estaba girando. ¿Cuál sería la gravedad superficial en el borde del cilindro, equivalente al ecuador de un planeta con forma de panqueque?

De acuerdo con mis cálculos aproximados, la gravedad de la superficie de un mundo con 300 veces la masa de la Tierra a una distancia de 14,146581 radios de la Tierra sería de aproximadamente 300 dividido por 200,12575, el cuadrado de 14,146581 y, por lo tanto, aproximadamente 1,4990574 g, que es aproximadamente 14,705 metros por segundo por segundo.

Posiblemente a algunas personas no les importe caminar en 1.499 g . aunque posiblemente el peso de los trajes espaciales u otra protección ambiental sería demasiado para ellos. Pero tal vez resulte que nadie aguanta andar mucho tiempo en más de 1,25 g .

De todos modos, el problema es conseguir que la gravedad superficial baje a 1 g en el borde del cilindro que corresponde al ecuador del planeta panqueque.

No sé cómo calcular la velocidad de rotación adecuada para reducir la gravedad superficial del planeta panqueque a 1 g en el ecuador.

Pero debería ser posible calcular una velocidad racional máxima posible de tal planeta panqueque.

Se puede calcular la velocidad de escape en el borde del cilindro que corresponde aproximadamente al ecuador del planeta panqueque. El planeta tendría 300 veces la masa de la Tierra, por lo que la velocidad de escape a una distancia de 14,146581 radios terrestres sería de 51,51 kilómetros por segundo.

https://www.omnicalulator.com/physics/escape-velocity

Dado que el planeta panqueque tendría 14,146581 veces el radio de la Tierra, también tendría 14,146581 veces la circunferencia de la Tierra. Entonces el cilindro tendría una circunferencia de 566,924.47 kilómetros. Viajando a 51,51 kilómetros por segundo, tardaría 11.006,105 segundos, o 3,057 horas, en recorrer 566.924,47 kilómetros. Entonces, si el planeta panqueque rotara más rápido que una vez cada 3.057 horas, el material en su ecuador estaría viajando más rápido que la velocidad de escape y escaparía al espacio exterior.

La pregunta pide que un planeta gire aproximadamente una vez cada media hora, que es aproximadamente 6 veces más rápido que la velocidad máxima a la que podría girar un planeta con la masa y las dimensiones anteriores antes de comenzar a romperse.

Así que este ejemplo de un planeta panqueque tiene que girar muy rápido para mantener su forma achatada, pero también tiene que girar a la velocidad adecuada para tener una gravedad superficial de solo 1 g en su ecuador, y también tiene que girar menos de una vez cada 3.057 horas para evitar roturas. Y no sé si la velocidad adecuada para mantener su forma sería igual a la velocidad adecuada para tener una gravedad superficial de 1 g en el ecuador.

La pregunta era qué tan grande podría llegar a ser un planeta así en masa y radio.

Y la respuesta fácil, aunque posiblemente no correcta, es que un planeta con forma de panqueque podría volverse tan masivo como cualquier otro planeta. Se cree que la línea divisoria en masa entre los planetas más masivos y las enanas marrones menos masivas es unas 13 veces la masa de Júpiter y, por lo tanto, unas 4.131,4 veces la masa de la Tierra. Las enanas marrones no son ni planetas ni estrellas, sino tipos intermedios de objetos.

Así que podemos suponer que un planeta con forma de panqueque podría tener hasta 4.000 veces la masa de la Tierra. Cómo se formaría es otra cuestión. Los exploradores de la Tierra podrían creer que un planeta tan masivo sin muchos elementos ligeros era imposible de formar naturalmente y teorizar que una civilización muy avanzada realmente construyó ese planeta, tal vez mientras experimentaba para construir un disco de Alderson. Pero esa es otra historia.

Y esta vez haré el planeta varias veces más "grueso" en mi tosco modelo cilíndrico. Intentaré hacerlo de 10 radios terrestres o 5 diámetros terrestres de espesor.

Un cilindro con un radio de 1 radio terrestre y una altura de 10 radios terrestres tendría un volumen de 320,44 radios terrestres cúbicos o 76,499418 veces el volumen de la Tierra. Un mundo con la densidad de la Tierra y 4000 veces la masa necesitaría un volumen 4000 veces el volumen de la Tierra.

Un planeta cilíndrico con un diámetro polar de 10 radios terrestres (63.710 kilómetros) y un radio ecuatorial de 23,09401 radios terrestres (147.131,93 kilómetros) y un diámetro de 46,18802 radios terrestres (294.263,86 kilómetros) tendría 4.000 veces el volumen de la Tierra.

Tal planeta tendría una gravedad superficial de aproximadamente 7,5000046 g en el ecuador y tendría que girar rápidamente para reducirla a 1 g en el ecuador. Y también tendría que girar lo suficientemente rápido para tener una forma tan achatada.

Tendría una velocidad de escape de 147,2 kilómetros por segundo en el ecuador.

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Con un radio de 147.131,93 kilómetros tendría una circunferencia de unos 924.456,39 kilómetros en el ecuador. Así que una rotación completa del planeta a 147,2 kilómetros por segundo, velocidad de escape, tardaría unos 6.280,2743 segundos, o 1,74452 horas. Eso 3.489 veces más largo que la media hora por rotación solicitada en el OP.

Intentemos ver qué tan rápido podrían girar planetas perfectamente esféricos con 300 veces la masa de la Tierra y 4000 veces la masa de la Tierra sin comenzar a perder masa, ignorando, por supuesto, que se volverían achatados si giraran incluso una pequeña fracción tan rápido como eso. .

Un planeta perfectamente esférico con un radio de 6,69573724 radios terrestres tendría un volumen 300 veces mayor que el de la Tierra. Si tuviera la misma densidad promedio que la Tierra, tendría 300 veces la masa de la Tierra.

Y tendría una velocidad de escape de 74,87 kilómetros por segundo. Con un radio de 6,69573724 radios terrestres tendría una circunferencia de unos 268.031,29 kilómetros. Girando a 74,87 kilómetros por segundo, tardaría 3.579,9557 segundos, o 0,9944321 horas en girar, aproximadamente 1,9888 veces más que la rotación de media hora solicitada.

Si un planeta perfectamente esférico tiene la misma densidad promedio que la Tierra, debería tener unas 4000 veces la masa de la Tierra si tiene 4000 veces el volumen de la Tierra. Dado que la raíz cúbica de 3.999,9995 es 15,87401, un planeta esférico con 15,8741 veces el radio de la Tierra y la misma densidad media que la Tierra tendría una masa de 3.999,9995 Tierras.

Tal planeta tendría una velocidad de escape de 17,756 kilómetros por segundo, Con un radio 15,87401 veces el de la Tierra, tendría una circunferencia de 636.151,22 kilómetros. Rotando a 17,756 kilómetros por segundo, tardaría 35.827,394 segundos, o 9,9520 horas, en una rotación completa, unas 19,9 veces el tiempo de rotación solicitado.

Mis cálculos aproximados muestran que podría no ser posible diseñar un planeta que pudiera girar en aproximadamente media hora sin romperse.

Y creo que diseñar un planeta en el que la tasa de rotación adecuada para reducir la gravedad ecuatorial a un g fuera también la tasa de rotación adecuada para mantener la forma del planeta sería bastante difícil de hacer.