¿Qué tan débil puede ser un propulsor y aun así llevar un cohete al espacio, teóricamente?

Hubo, brevemente, una discusión reciente sobre el uso de Mentos y Coca-Cola para llegar al espacio. No era una pregunta seria, pero apuntaba a una forma de entender el núcleo de cómo funcionan los cohetes.

El año pasado pregunté una variante de esto y tuve tantos problemas para entender las respuestas que decidí dejarlo hasta que hubiera repasado seriamente mis matemáticas y física. Había un enlace en una de las respuestas a esto .

Con la puesta en escena, el delta-v de cada etapa puede calcularse a través de la ecuación del cohete y sumarse:

Δ v = ∑ i = 0 norte − 1 V mi , i ⋅ en ⁡ ( METRO i norte i t i a yo , i METRO F i norte a yo , i )

Dónde V mi es la velocidad de escape efectiva, METRO i norte i t i a yo la masa inicial y METRO F i norte a yo la masa del cohete en el punto de quemado de cada etapa.

Cuando el V mi y las relaciones de masa son las mismas para todas las etapas, esto se simplifica a:

Δ v = norte V mi ⋅ en ⁡ ( METRO r a t i o )

y se puede ver que el delta-v está limitado solo por el n, el número de etapas.

Eso dobla mi mente. Parece decir que si tiene combustible y etapas esencialmente infinitas, puede llegar al espacio en cualquier condición: gravedad muy alta, combustible muy pobre, motores realmente malos, carga útil gigantesca, lo que sea. Pero eso no puede ser correcto. Debe haber algún límite definible para todos los diferentes elementos.

Entonces, aquí en la Tierra, tomando la parte del propulsor, ¿cuál es la tasa de expansión mínima, si es un equivalente decente en inglés simple para impulso específico, necesaria para poner un cohete en órbita?

Avíseme si hay una mejor manera de enmarcar la pregunta, defínala para que sea más responsable. Aunque ahora es un poco tarde y no lo haré hasta la mañana.
Más allá de solo delta-V, si está lanzando desde un cuerpo masivo como la Tierra, también necesita una relación empuje-peso, porque tanto la gravedad como la resistencia atmosférica están "comiendo" sus ganancias delta-V. Me molestó un poco que la pregunta del cohete Mentos se cerrara con una respuesta "ni siquiera teóricamente posible" que no estaba respaldada por una explicación teórica.
@RussellBorogove sí, eso se me ocurrió vagamente, pero no entiendo cómo se interrelaciona todo. Me gustaría asegurarme de que esta pregunta sea claramente respondible. Puedo entender que demasiadas variables lo hacen difícil. De KSP entiendo que T / W debe ser superior a 1, pero incluso con mentos y coca cola, ¿tal vez si su carga útil es lo suficientemente pequeña, eso es posible?
1+ TWR es absolutamente posible, como lo demuestran los videos de Mentos/cohetes de coque despegando.
Avíseme si encuentra una manera de tener un número esencialmente infinito de etapas.
Randall Munroe exploró esto en what-if.xkcd.com .
En lo que respecta a "cualquier condición", sí, cualquier conjunto de condiciones que resulte en una velocidad que se aleje del planeta podría eventualmente alcanzar la órbita y abandonar el sistema por completo. El resto de las matemáticas se usa para construir sistemas con sistemas de combustible reales y limitados que realmente lo lograrán.

Respuestas (1)

Un géiser vertical de Mentos-coke a través de una boquilla no particularmente óptima alcanza una altitud de aproximadamente 6 metros (según mis ojos), lo que implica una velocidad de salida de un poco más de 5 m/s, equivalente a un Isp del orden de ~0,5 s. (También veo referencias a géiseres Mentos de 40 pies/12 metros, lo que implica que son posibles cifras más cercanas a 8 m/s o 0,8 s ISP).

La existencia de videos de cohetes Mentos-coque indica que dicho cohete puede alcanzar brevemente relaciones de empuje a peso superiores a 1: 1.

Supongamos por un momento que podemos crear cohetes Mentos de cualquier escala con las mismas proporciones de masa de estructura a propulsor que una botella de dos litros.

Las botellas de refresco de plástico de 2 litros pesan alrededor de 50 gramos vacías y contienen alrededor de 2 kg de combustible + carga útil. Digamos que la carga útil es del 20% (es decir, una relación de masa de etapa a etapa de 5:1): 400 g de carga útil y 1600 g de propulsor.

Así que estás viendo... 5 ln(2050/450) = la friolera de 7,5 m/s de delta V por etapa.

Así que necesitas mil cuatrocientas etapas del cohete Mentos para llegar a la órbita. Y cada etapa es 5 veces más grande que la etapa anterior. La relación entre la masa de la primera etapa y la masa de la última etapa es, por lo tanto, 5 1400 , un número con 979 dígitos. Así que... sí, ni siquiera es teóricamente posible.

(Con una relación de masa de etapa de 20:1, podría reducirlo a más de 1000 etapas. Una relación de masa de etapa de 1000:1 le brinda una enorme V delta de 35 m/s por etapa, lo que lo reduce a unas 300 etapas. Optimice la boquilla, mejore el inyector Mentos, tal vez pueda obtener una velocidad de escape de hasta 50 m/s, ahora tiene 30 etapas, pero la etapa final sigue siendo 1000 30 veces más grande, un número de 91 dígitos).

Esta es una forma bastante dramática de ilustrar que los aumentos lineales en delta-V requieren aumentos exponenciales en el tamaño del cohete.

Si comienza con "cuál es el cohete más grande que podría construirse de manera plausible", puede trabajar esta lógica hacia atrás para averiguar qué velocidad de escape necesitaría para poner en órbita una carga útil dada.

Digamos que estamos construyendo un cohete de 1 millón de toneladas, 300 veces la masa de un Saturno V. En mi opinión, un cohete de este tamaño no es "obviamente posible de construir" ni "obviamente imposible de construir". Nuevamente, vamos con una relación de masa de etapa de 5: 1 y una carga útil de 2.5 toneladas: una cápsula tripulada un poco más pequeña que un Gemini. Eso es un lanzador de 8 etapas (2.5tx 5 8 = ~1x10 6 t). Divida el requisito delta-V orbital de 10 km/s de manera uniforme entre las etapas y obtendrá 1,25 km/s cada una. Asi que:

1250 = V mi ⋅ en ⁡ 5

Lo que da como resultado una velocidad de escape de ~777 m/s, o ISP de 79 s. Curiosamente, ¡eso está en línea con los motores de cohetes modelo de pólvora negra ! (Supongo que el XKCD What-If que Hobbes mencionó asumió la agrupación de motores de cohetes modelo individuales, en lugar de construir un cohete optimizado personalizado con combustible comparable, de ahí la conclusión diferente).

Gran trabajo @Russell
El XKCD no hizo un buen trabajo al manejar los motores: está asumiendo mucha más complejidad de la necesaria. No usa un E9-4, usa un E9-0 y simplemente péguelo al motor de arriba. A medida que el motor se gasta, se quema a través de la parte superior del combustible y empuja momentáneamente hacia atrás, justo en la garganta del motor al que está pegado. Cuando se enciende la siguiente etapa, la presión es lo suficientemente alta como para romper la cinta y expulsar el motor gastado.
De todos modos, estoy bastante seguro de que eso no se adapta a diseños de un millón de toneladas. :)
¿Qué tan débil puede ser un propulsor y aun así llevar un cohete al espacio, teóricamente?
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