¿Qué resistencia a la tracción sería necesaria para un ascensor espacial lunar?

No hay un valor exacto disponible, pero existen algunos diseños propuestos que podemos ver. Los materiales existen hoy. Se requiere una altura de frenado de unos 300 km. En teoría, se podría usar Kevlar, pero se preferirían otros materiales que permitan una mayor resistencia a la tracción, como Zylon o M5, con una resistencia a la tracción total de alrededor de 4-6 GPa.

En resumidas cuentas, depende de cómo diseñe el elevador, qué cantidad de carga y su distribución necesita soportar, y cuál es la conicidad, pero cualquier cosa en el rango de 4-6 GPa será lo suficientemente bueno para crear un diseño que funciona, más alto permitiendo una solución menos cónica.

Su pregunta en su forma actual no tiene respuesta. La resistencia a la tracción no es el factor limitante de cómo se diseñan los ascensores espaciales. Los ascensores espaciales están diseñados para tener una cantidad constante arbitraria de tensión. Esto se logra variando el grosor del cable a medida que avanza hacia L1 o una órbita GEO para la Tierra.

Imagínelo de esta manera, cuando comienza en la parte inferior donde el cable toca el suelo, no hay fuerza, por lo que el cable puede ser tan pequeño como desee. Suba una milla y ahora el cable tiene que ser al menos tan grueso como lo era en la parte inferior más un grosor adicional para soportar todo el peso del cable debajo de él. Este tipo de diseño se denomina elevador espacial de tensión constante porque el grosor varía para mantener la tensión constante. Los primeros diseños de ascensores espaciales usaban secciones transversales constantes, pero ese diseño se abandonó hace mucho tiempo porque es ineficiente en masa hasta el punto de que ningún material podría funcionar (incluso los nanotubos de carbono en la Tierra).

Entonces, creo que lo que realmente quieres es una comparación de las proporciones de conicidad en la Tierra versus un elevador L1 de la Luna. La disminución debe comenzar en un mínimo y alcanzar su máximo en GEO o L1 y luego disminuir hasta un contrapeso. Tiempo de derivación.

Para la Tierra, donde T es la tensión en el cable,$\rho$es la densidad del cable,$\mu_e$es el parámetro gravitacional estándar de la Tierra y$\omega$es la velocidad angular del período de rotación de la Tierra. Una explicación intuitiva de los términos: los términos del lado izquierdo son la tensión que sostiene el cable en algún punto dr, los términos de la derecha son primero la gravedad que lo arrastra hacia abajo y luego la aceleración centrípeta que lo eleva.

$T \space dA = \rho A(\mu_e/r^2 - \omega^2 r ) \space dr$

$dA/A = (\rho /T )(\mu_e/r^2 - \omega^2 r ) \space dr$

Reordenando e integrando desde la superficie$R_s$a GEO$R_g$.

$ln(A_g/A_s) = (\rho /T )(\mu_e(1/R_s -1/R_g) + \omega^2R_g^2/2 -\omega²R_s^2/2)$

$TaperRatio =A_g/A_s =exp[ (\rho /T )(\mu_e(1/R_s -1/R_g) + \omega^2R_g^2/2 -\omega²R_s^2/2)]$

Voy a usar kevlar como ejemplo porque tiene una de las mejores relaciones de resistencia a peso de cualquier material.

$\rho$= 1400 kg/m^3

T = Resistencia máxima a la tracción = 3,6 GPa = 3,6 * 10^9 Pa

* tenga en cuenta si está haciendo el cálculo usted mismo,$\rho/T$debe estar en unidades s^2/km^2 para que todo se cancele correctamente.

Voy a incorporar un factor de seguridad de 1,1, lo que hace que el T máximo sea de 3,27 GPa.

Asumiendo$R_s$= 6371 kilometros,$R_g$= 42164 kilometros,$\mu_e$= 398600 Km^3/s^2,$\omega$= 7.272e-5 rad/s, y$\rho/T$= .4281 s ^ 2 / km ^ 2, la relación de conicidad para un elevador de tierra basado en Kevlar sería 5.2577e + 10. Esta gran relación de conicidad es la razón por la que el ascensor no sería práctico en la Tierra.

Ahora, para la derivación de la relación de conicidad en un elevador Lunar L1. Esta respuesta no se aplica a un ascensor L2. La ecuación básica del balance de fuerzas es la misma excepto que ahora hay un término para el efecto de la gravedad de la Tierra. La Tierra también se detiene en el ascensor. La constante c es simplemente el radio de la órbita entre la Tierra y la Luna y$\omega$es ahora la velocidad angular de la Luna en lugar de la de la Tierra. Dado que el período de rotación y el período orbital de la Luna son muy similares, la Luna está bloqueada por mareas. Asumo un bloqueo de marea perfecto, si este fuera un diseño real, tendrías que permitir que la correa se mueva un poco alrededor de la superficie de la Luna.

$T \space dA = \rho A(\mu_m/r^2 -\mu_e/(c-r)^2 - \omega^2 r ) \space dr$

Reorganizando e integrando desde la superficie de la Luna$L_s$al punto de Lagrange 1$L_1$.

$A_1/A_s =exp[ (\rho /T )(\mu_m(1/L_s -1/L_1) + \omega_m^2L_s^2/2 -\omega_m²L_1^2/2) + \mu_e(1/(c-L_s) -1/(c-L_1))]$

Aquí está la ecuación simplificada para el ascensor L1 si quiere probarlo usted mismo para varios materiales.$TaperRatio = exp((\rho\space 2.5289)/T)$

Conectándolo con el mismo factor de seguridad y Kevlar, obtiene una relación de conicidad de 2.95 para un elevador L1 donde$L_s$= 1738 kilometros,$L_1$= 63008 Km, C = 384400 Km,$\mu_m$= 4900 Km^3/s^2, y$\omega_m$= 2,6617e-06 rad/s.

Para resumir todo, las relaciones de conicidad son la forma de comparar diferentes elevadores, no los requisitos de resistencia a la tracción. Para la Tierra con Kevlar, el TR es 5,2577e+10 y para un ascensor Luna-L1 es 2,95. Esto es de lo que creo que habla la respuesta de @LaurenPechtel para explotar exponenciales.

Una vez que haya encontrado su relación de conicidad, puede comenzar a ver cuánta masa desea levantar. Digamos que quieres que tu ascensor pueda levantar 100 mil kilos, solo haces un balance de fuerza en la parte inferior y eso establece tu área de inicio.

$A_s T = mg => A_s = mg/T$

En la Luna, eso significa que necesita una sección transversal inicial de 0,45 cm^2 y una sección transversal máxima en L1 de 1,35 cm^2 para levantar 100 000 kg. En la Tierra, sería una sección transversal inicial de 2,72 cm^2 y una sección transversal máxima de 14,3125 km^2 en GEO.

Acercar el contrapeso a L1 desde el lado de la Tierra no cambiará los requisitos de tensión en absoluto. Simplemente cambia dónde decides dejar de disminuir. Lea este documento para entender por qué.

Último pensamiento, la imagen que muestra para un ascensor L1 puede ser algo confusa. Un ascensor L1 no necesita tramo hasta el poste por motivos de ingeniería. Todos los que han investigado los diseños de ascensores L1, en general, han pensado que sería bueno ir directamente a los polos. Es posible unir una cuerda secundaria desde el ascensor principal a los postes, pero esto se hace por motivos de misión.

El problema es que estás pidiendo un valor exacto que no existe.

La mayor carga en el cable de un ascensor es el propio cable, el cable cerca del centro necesita más fuerza que el cable cerca de los extremos. En la práctica, esto significa que construiría un cable más grueso en el medio.

Cuanto mayor sea el aumento de grosor que esté dispuesto a aceptar, menor será el requisito de resistencia del material del cable. Por lo tanto, obtiene una variedad de respuestas: resistencia del material y relación de conicidad.

Todavía tiene una fuerza mínima porque la ecuación es exponencial y explota mucho si su cable es demasiado débil.

Un material más débil significa una relación de conicidad más grande, lo que significa un elevador más masivo. Entonces, si puede permitirse el lujo de transportar una gran masa de amarre al espacio, puede usar materiales más débiles.

Otro factor es ¿hasta dónde se extenderá la correa hacia la Tierra? Cuanto más cerca de la tierra, mayor es la longitud y la tensión, por lo que los gatos elevan la masa del elevador.

Lo que me gusta observar es la relación entre la masa de la correa y la masa de la carga útil. Hace unos años, Chris Wolfe me dio una hoja de cálculo que permite hacer estimaciones para diferentes escenarios. La explicación del pensamiento detrás de la hoja de cálculo está aquí .

Arriba hay una captura de pantalla donde conecté la resistencia a la tracción y la densidad de Kevlar. También configuré la punta de la correa para que se extendiera a una altitud terrestre de 118 660 kilómetros, lo mismo que un elevador lunar propuesto para un puerto elevador. Si mal no recuerdo, la gente de Liftport quería usar un Centaur gastado de 2,25 toneladas como contrapeso en el extremo de la correa. Así que puse una masa de estación de pie de 2250 kg.

Jugué con la masa de la carga útil hasta que obtuve una correa de 11 toneladas, que es en lo que estaba pensando la gente de Liftport.

Tenemos una relación de conicidad suave de 1.6. Una cuerda de 11 toneladas a una carga útil de 1,667 toneladas da una relación de masa de cuerda a carga útil de casi 8.

Sin embargo, la aceleración neta es mucho mayor en la superficie lunar. Aquí, la correa puede acomodar solo 53,65 kilogramos. En la superficie lunar, la relación entre la masa de la atadura y la carga útil es de aproximadamente 205.

Pero observe el factor de seguridad: 1. Esto significa que el más mínimo pellizco o raspadura podría romper la correa. Ninguna entidad en su sano juicio confiaría pasajeros vivos o carga valiosa a un ascensor de este tipo. El ascensor tendría que ser reforzado antes de que se convirtiera en un ascensor de trabajo útil.

Si tuviera dinero y vidas en juego, personalmente querría un factor de seguridad de tres. Intentemos aumentar el factor de seguridad a 3:

Todavía tenemos la misma masa de estación de pie y la misma masa de amarre. Pero ahora nuestra atadura ha aumentado su masa a 71,14 toneladas.

71,14/1,667 es 44,03, por lo que nuestra conexión es 44 veces más masiva que la carga útil máxima que puede admitir.

En la superficie lunar, la correa no puede manejar 97,1 kilogramos. Aquí, la relación de masa de amarre a carga útil es de aproximadamente 733.

Cabe señalar que lo que llamo carga útil también incluiría la cabina del ascensor. Que tiene que tener ruedas sujetando la correa, una fuente de energía y un motor. Entonces, la carga real transportada por la cabina del ascensor sería aún menor.

Puede que hayas supuesto que no soy un gran admirador de los ascensores lunares.

Si quieres descargar la hoja de cálculo y jugar con los escenarios, aquí tienes la hoja de cálculo (1,7 megas) . Puede ingresar diferentes valores en las celdas coloreadas