¿Qué es el momento canónico?

El impulso canónico $p$es solo una variable conjugada de posición en la mecánica clásica, en la que tenemos la relación$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}$. Al hacer la transición a la mecánica cuántica, sustituimos$p$con un operador$-i\hbar\nabla$en el hamiltoniano; Del mismo modo, sustituimos$r$por$i\hbar \nabla_p$en la representación del momento.

El momento cinético se denomina "cinético" porque representa la velocidad de la partícula en la mecánica clásica. Cuando hablamos de los valores esperados de la mecánica cuántica, el momento cinético$\vec{P}$debe satisfacer

Otro punto importante sobre ellos es que el momento cinético es una cantidad invariante de calibre, mientras que el momento canónico depende explícitamente de la elección del calibre.

Ni la canónica$\hat p=-i\hbar\nabla$ ni el momento cinético$\hat{P}=-i\hbar\nabla-q\vec{A}$es una cantidad conservada en el caso general.

Considere el hamiltoniano en un campo electromagnético:

Así, se puede ver que en general no se conservan. Incluso en el caso muy especial como señala @Frederic Brünner:$\vec A$es independiente de la posición.

Así que olvídate de la conservación de ambos, es posible que solo se conserven en algunos casos muy especiales.

Imagina esta situación:

en el momento t=0, tenemos un alambre recto infinito con corriente cero y una partícula cargada q con velocidad cero.

en el momento t=T, hacemos que la corriente sea I, por lo que tenemos un$\mathbf{B}$campo, y$\mathbf{A}$campo.

Durante este proceso,$\mathbf{A}$se acumula desde cero hasta algún valor, por lo tanto, tenemos un campo eléctrico inducido$\mathbf{E}= - \frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t}$

$\Delta (m\mathbf{v})=\int \mathbf{F} dt = \int q \mathbf{E} dt =\int q \frac{ - \partial \mathbf{A}}{\partial t} dt$

supongamos que este proceso sucedió muy rápido, la partícula casi permanece en la misma posición,$\frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} =\frac{ d \mathbf{A}}{d t}$

después

$\Delta (m\mathbf{v}) =\int q \frac{ - d \mathbf{A}}{d t} dt = - q \int d \mathbf{A} =-q \Delta \mathbf{A}$

$\Delta ( m \mathbf{ v } +q \mathbf{A}) =0$

$m \mathbf{ v } +q \mathbf{A} = constant$

Todo el problema comienza cuando intentas hacer electromagnetismo con el Lagrangiano porque no puedes escribir el campo magnético en términos de un potencial. Sin embargo, PODEMOS escribirlo en términos de un vector potencial$\vec{A}$:

$\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$.

Parece que esto es útil y puede usarse para derivar el Lagrangiano y el Hamiltoniano apropiados que se dan y verifican aquí .

Parece (de los cálculos dados en el enlace) que para incluir el campo magnético, necesitamos reemplazar nuestro impulso con:

$\vec{p}-q\vec{A}$.

Al reemplazar el impulso por este término, puede hacer mecánicas de Lagrangain y Hamiltonian (que funcionan con potenciales) para campos magnéticos (que no se pueden escribir en términos de un potencial).

Para los campos eléctricos, aún puede incluirlos utilizando el potencial electrónico.

Sí, explica el efecto del vector potencial sobre una carga en movimiento. Pero también juega un papel más fundamental: suponiendo un vector potencial independiente de la posición, el momento canónico es una cantidad conservada, mientras que el momento "normal" (o cinético) (masa por velocidad) no lo es.

En la mecánica lagrangiana, el "momento" es solo una cantidad conservada y es la derivada del lagrangiano con respecto a la velocidad ($\frac{dL}{d\dot{q}}$). Para el caso de una carga puntual que viaja a través de un campo magnético uniforme$\mathbf{B}$,$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$simplemente ya no se conserva, ya que la carga viaja en una trayectoria circular debido al campo magnético, lo que hace que su impulso cambie constantemente de dirección. Una cantidad conocida como el momento canónico,$\mathbf{P} = m\mathbf{v} + e \mathbf{A}$termina conservándose a lo largo de la trayectoria de la partícula cargada. (Establecer la derivada temporal total del momento canónico igual a cero simplemente da como resultado$m \mathbf{a} = e \mathbf{v} \times \mathbf{B}$, que es solo la expresión de la fuerza magnética). En resumen, el momento canónico es simplemente "la cantidad que se conserva" en las interacciones electromagnéticas, mientras que el momento cinético es solo el producto de la masa y la velocidad.

El momento canónico (total) es la suma del momento cinético (mecánico) y el momento potencial. El impulso potencial ocurre solo si la energía potencial depende explícitamente de la velocidad.