¿Qué dice la teoría de cuerdas sobre la expansión métrica?

La expansión métrica puede, por ejemplo, ser descrita por la métrica de Robertson-Walker dada por

$$\mbox ds^2 = -\mbox dt^2 + a^2(t)\mbox d\Sigma^2$$

dónde$a$es el factor de escala y$\mbox d\Sigma^2$es parte espacial de la métrica. Si el factor de escala obedece a la ecuación

$$\dot{a} = a H$$

donde el punto significa derivada del tiempo y H es la constante de Hubble, el universo no solo se expande linealmente, sino que la expansión se acelera (o exponencial), lo que se denomina inflación.

De las observaciones que tenemos hasta ahora (?) se sabe que el universo es más bien plano, homogéneo e isotrópico. El isótropo significa que el universo se ve igual en todas las direcciones, lo que significa además que todas las direcciones espaciales deben tratarse por igual.

En la teoría de cuerdas, hay pequeñas dimensiones adicionales y, por lo tanto, es natural en la cosmología de cuerdas relajar correspondientemente la condición de isotropía y tratar las dimensiones adicionales (compactadas) de manera diferente a las grandes dimensiones macroscópicas.

Una posibilidad de implementar esta anisotropía debido a que no todas las dimensiones espaciales se comportan de la misma manera es asumir que el universo puede ser descrito por la métrica de Kasner

$$\mbox ds^2 = -\mbox dt^2 + \sum_{j=1}^D t^{2p_j}(\mbox dx^j)$$

Mediante esta métrica, es posible no solo describir la expansión cosmológica de algunas direcciones espaciales (las que tienen exponentes de Kasner positivos$p_j$, pero esta métrica también permite que algunas dimensiones se contraigan, esas tienen un valor negativo$p_j$. Siguiendo con lo que se pregunta en la pregunta, las dimensiones en expansión podrían, por ejemplo, corresponder a las dimensiones con exponentes de Kasner positivos y las dimensiones adicionales compactadas podrían describirse mediante un exponente de Kasner negativo. Los exponentes de Kasner deben satisfacer las condiciones de Kasner

$$\sum_{j=1}^{D-1} p_j = 1$$

y

$$\sum_{j=1}^{D-1} (p_j)^2 = 1$$

lo que se puede demostrar que se reduce al hecho de que no todos los exponentes pueden tener el mismo signo y, por lo tanto, tiene que haber direcciones de contracción y expansión presentes al mismo tiempo.

También en la teoría de cuerdas, el alcance del tamaño de las dimensiones (extra) se describe mediante campos de dilatación ;-)$\phi$y están relacionados con los exponentes de Kasner en Modelos haciendo uso de la métrica de Kasner, por ejemplo, por

$$\phi = -\left(1- \sum\limits_{j=1}^D p_j \right)\ln t$$

Esto introduce algún tipo de dualidad entre las dimensiones que se expanden y se contraen, de modo que algo así como una cosmología cíclica previa al big bang puede describirse en este modelo de la siguiente manera:

1. El universo parte de un estado grande, plano y frío.

2. Se contrae hasta que alcanza el pequeño radio dual propio donde está muy curvado y caliente (este es el big bang)

3. Debido a la mencionada dualidad el universo se encuentra en este estado
   equivalente a un universo en expansión, que corresponde al
   universo en el que vivimos.

En tales modelos cosmológicos, las dimensiones que se contraen pueden hacer que las dimensiones que se expanden se aceleren, pero no entendí completamente este mecanismo de inflación. No estoy seguro de si tal vez la energía potencial necesaria para mantener pequeñas las dimensiones de contracción podría desempeñar el papel de un potencial de inflación apropiado o algo por el estilo.

Otros modelos de cosmilogía de cuerdas utilizan mundos de brana que se basan en modelos de Randall-Sundrum.

que describen nuestro universo como una 3-brana conectada por una dimensión adicional a una 3-brana análoga llamada sector oculto. En su "forma estacionaria" donde las branas no se mueven, estos modelos brindan, entre otras cosas, un enfoque para resolver el problema de la jerarquía, en particular cuando se permiten dimensiones deformadas como, por ejemplo, se explica muy bien aquí . En aplicaciones cosmológicas, se permite que las branas se muevan a lo largo de la dimensión extra, de modo que se obtienen modelos ekpiróticos cíclicos donde el universo siempre existió y el big bang no es el origen del tiempo:

1. Primero, las dos branas están ubicadas en los límites de la(s) dimensión(es) adicional(es). Este estado corresponde a un universo frío y vacío.
2. Las branas se atraen entre sí y chocan en un big bang, la materia y la radiación se crean a partir de la energía de colisión.
3. Las branas se alejan unas de otras y el universo se enfría

Este ciclo de eventos puede ocurrir repetidamente. En estos modelos cosmológicos, la isotropía puede explicarse por el hecho de que las dos branas (paralelas) chocan aproximadamente como dos placas en todas partes al mismo tiempo, el estado inicial es vacío y, por lo tanto, plano, y las branas ondulan (oscilaciones de las branas en el dirección adicional) proporcionan semillas para las grandes estructuras del universo.

Siempre se ha supuesto que las dimensiones extra en la teoría de cuerdas están enrolladas en una escala igual a la longitud de Planck, simplemente porque no hay otra escala natural para ellas. Si se hubieran enrollado en esa escala en el momento en que la temperatura era la temperatura de Planck, y luego se hubieran expandido desde entonces al mismo ritmo que las dimensiones ordinarias de 3+1, ahora serían lo suficientemente grandes como para ser fácilmente observables.

Además, asumo que las masas de las partículas fundamentales en la teoría de cuerdas están estrechamente relacionadas, a través de la relación de De Broglie, con la escala de las dimensiones extra. Si hubiera un aumento en esta escala con el tiempo, entonces deberíamos observar, por ejemplo, que la relación entre el radio del electrón clásico y el radio de Bohr aumentaba con el tiempo. Dado que esta relación se conoce en aproximadamente una parte de$10^9$, me imagino que habríamos detectado un cambio en él cuando el universo se expandió en una parte en$10^9$. Eso solo hubiera tomado alrededor de 10 años.