Propagación de un rayo láser de superficie plana en el espacio libre

A menudo se supone que la función de parte superior plana inicial es una función supergaussiana

$$\exp\left(-\frac{r^n}{w^n}\right) .$$ Desafortunadamente, los super-gaussianos son un poco difíciles de usar en cálculos analíticos. Así que probablemente sea mejor hacerlo numéricamente. El simple por qué hacer esto es usar lo que se llama propagación de haz:

• Tome la transformada de Fourier 2D de la función (numéricamente: 2D FFT)

• Multiplicar con el núcleo de propagación:$\exp\left(i\pi\lambda z r^2\right)$dónde$r$es la coordenada radial en el dominio de Fourier,$z$es la distancia de propagación y$\lambda$es la longitud de onda.

• Realice la transformada inversa de Fourier para obtener el campo en el nuevo$z$-ubicación.

Hay algunas sutilezas con tales implementaciones numéricas, pero confío en que las resolverá.

Al igual que cualquier perfil de haz puede expresarse como una suma de ondas planas, también puede descomponerse en funciones de Hermite.

Para hacerlo, considere un haz que se propaga en la dirección z. El campo eléctrico se puede expresar como el producto de una envolvente$u$y un transportista$e^{ikz}$:

$$E_{m,n}(x,y,z) = A\times u_{m,n}(x,y,z) \exp\left( ikz \right)$$ y la propagación de la envolvente se puede expresar como $$u_{m,n}(x,y,z)= \sqrt{\frac{2}{w(z)}} \phi_n(\frac{x\sqrt{2}}{w(z)}) \phi_m(\frac{y\sqrt{2}}{w(z)}) \exp\left(ik\frac{x^2 + y^2}{2R(z)} \right)\exp(-i \psi_{m,n}(z)) \quad (1)$$ dónde $$\psi_{m,n}(z) = (n+m+1) \arctan\frac{z}{z_R} \\ w(z)=w_0 \sqrt{1+\frac{z^2}{z_R ^2}} \\ R(z) = z + \frac{z_R ^2}{z} \\ z_R = \frac{\pi w_0 ^2}{\lambda}$$ y $\phi_n$es la función de Hermite definida como $$\phi_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^{-x^2}$$

Típicamente, para$n=m=0$, recupera la propagación gaussiana estándar.

Todo esto proviene de la ecuación de Maxwell. Ahora, hay un teorema de que cualquier función$v(x,y)$se puede expresar como una suma de funciones$u_{n,m}$:

$$v(x,y)=\sum_{n,m} \, C_{n,m} u_{n,m}(x,y,0)$$ con $$C_{n,m} = \int u^*_{n,m}(x,y,0)\times v(x,y) \,dxdy$$

Entonces deberías tomar v(x,y) como un sombrero de copa y calcular$C_{n,m}$- esto le dirá cómo se superponen los rayos gaussianos para dar un sombrero de copa en$z=0$. Luego, la ecuación de propagación (1) le dirá cómo se ve esta superposición lejos de$z=0$.