¿Por qué todavía no hay instrumentos dedicados a registrar la dilatación del tiempo causada por el paso de ondas gravitacionales?

La relatividad general predice que solo hay dos polarizaciones posibles de las ondas gravitacionales, las llamadas polarizaciones "tensoriales".$+$y$\times$. Resulta que puede demostrar que las polarizaciones del tensor en realidad no conducen a la dilatación del tiempo , lo que hace que cualquier intento de medición sea inútil. La respuesta corta, entonces, es que ¡no esperamos ver ninguna dilatación del tiempo en absoluto!

Ahora, podría argumentar que tal experimento aún sería útil en la medida en que podría usarse para buscar polarizaciones alternativas (las polarizaciones "escalar" y "vectorial") que indicarían que se justifica una teoría diferente de la gravedad. Por otro lado, podría decirse que esto sería redundante, porque existen otros métodos con los que podemos probar polarizaciones alternativas en datos interferométricos, ya sea observando fuentes individuales o el fondo de onda gravitacional estocástica hipotética (en las frecuencias a las que LIGO es sensible) .

Una señal transitoria individual necesitaría cinco$^{\dagger}$detectores apropiadamente alineados para caracterizar completamente las contribuciones de polarizaciones alternativas, pero la colaboración LIGO-Virgo pudo buscar evidencia de polarizaciones escalares y vectoriales en la señal de GW170814 (más aquí ) y al menos encontró que las polarizaciones puramente tensoriales eran fuertemente favorecidas sobre puramente polarizaciones escalares o puramente vectoriales. KAGRA ha comenzado las observaciones, y LIGO-India debería completarse a mediados de la década, lo que ayudará a romper algunas de las degeneraciones en el trabajo.

Una búsqueda del fondo estocástico no requeriría tantos detectores porque la señal no proviene de ningún lugar del cielo, por lo que proporciona otra estrategia con la que sondear polarizaciones alternativas . La carrera de observación de O1 no arrojó evidencia de fondos con polarizaciones escalares o vectoriales; dicho esto, tampoco había evidencia de ningún fondo, incluidas las polarizaciones de tensor. También es posible que las matrices de sincronización de púlsares puedan arrojar luz sobre el problema si se detecta un fondo estocástico y hay evidencia sustancial de polarizaciones de tensor pero no de polarizaciones alternativas ( Cornish et al. 2017 ), lo que hace que parte de esto sea discutible.

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$^{\dagger}$La respuesta de un solo interferómetro a una onda gravitatoria es una suma de términos correspondientes a polarizaciones individuales. En teorías más generales de la gravedad, hay hasta dos modos tensoriales, dos modos vectoriales y dos modos escalares, pero la clase de interferómetros a la que pertenecen LIGO y Virgo solo puede medir una combinación lineal particular de los modos escalares, por lo que tratamos con cinco grados de libertad. Por lo tanto, se necesitan cinco detectores para determinar cómo contribuye cada modo (o combinación o modos) a la señal ( Chatziioannou et al. 2021 ).

La respuesta de @HDE 226868 aborda los intentos actuales de LIGO/Virgo y PTA para detectar estados de polarización de ondas gravitacionales (GW) alternativos, que no se han detectado. En esa respuesta, se cita esta pregunta de SE, que muestra que las ondas gravitacionales que se interpretan como perturbaciones tensoriales del espacio-tiempo plano (Minkowski) producen solo dos estados de polarización no triviales que no son componentes de tiempo-tiempo y, por lo tanto, no causan la dilatación del tiempo . Sin embargo, esto no significa que la radiación gravitacional generalmente no pueda causar la dilatación del tiempo gravitacional, ya que los componentes del tensor de deformación$h_{\mu\nu}$no son cantidades invariantes de calibre, por lo que creo que podría no ser suficiente simplemente señalarlas y afirmar que no hay dilatación del tiempo.

En el artículo (matemáticamente riguroso) de Koop y Finn (2014) , caracterizan la amplitud de GW utilizando el tensor de curvatura de Riemann para "proporcionar una nueva derivación de primeros principios de la respuesta de los detectores de ondas gravitacionales modernos en tiempo de luz en términos de su interacción con la curvatura del espacio-tiempo... Finalmente, la fórmula de respuesta basada en la curvatura conduce a un cálculo más simple de la respuesta del detector de luz-tiempo que los cálculos correspondientes realizados usando el enfoque de perturbación métrica". Ver su ecuación. (3.16) para esa fórmula.

Por lo tanto, probaron usando geometría diferencial pura que las ondas gravitacionales pueden causar la dilatación del tiempo en un detector de luz-tiempo, lo que proporciona una justificación fundamental para las ideas utilizadas en el artículo de Loeb y Moaz (2014) sobre los relojes atómicos y las ondas gravitacionales.

El artículo de Loeb y Moaz (2014) describe un marco propuesto para detectar la dilatación del tiempo gravitacional debido a una onda gravitacional que pasa a través de una red de relojes atómicos que orbitan en el espacio. Usan la aproximación post-newtoniana, específicamente la aproximación de cuadrupolo de masa de orden principal, como se ve en su ecuación. (1) donde la deformación depende de la potencia de 5/3 de la masa chirp, por ejemplo, véase la ecuación. (3.9) de Cutler y Flannagan (1994 ). Citan un artículo seminal de A. Sesana (2013) , cuya Eq. (11) es equivalente a la ecuación. (1) de Loeb y Moaz, e incluso Sesana nos lo deriva :). En la nota al pie 1 de Loeb y Moaz (2014), afirman:

"En este artículo, por razones pedagógicas, adoptamos un calibre newtoniano que se usa comúnmente para describir el efecto de dilatación del tiempo debido a la gravedad estacionaria, medido en el experimento de Pound-Rebka 7 . En este calibre, una perturbación oscilante en el componente de tiempo-tiempo de la métrica,$h_{00}$, provocaría una variación periódica en la dilatación del tiempo Pound-Rebka y un desajuste entre el ritmo de tictac de los relojes separados".

Por lo tanto, creo que Loeb y Moaz (2014) simplemente asumen que su Eq. (1) aproxima el componente tiempo-tiempo del tensor de deformación, como medio de tener una aproximación cruda con la que trabajar en aras de delinear la idea del artículo, identificando$f$como la frecuencia desplazada al rojo, no la frecuencia de onda gravitacional intrínseca.

¿Por qué todavía no hay instrumentos de reloj atómico dedicados a registrar la dilatación del tiempo causada por el paso de ondas gravitacionales?

Principalmente porque la sensibilidad de los instrumentos del reloj atómico ha alcanzado recientemente la precisión requerida para realizar mediciones de dilatación del tiempo gravitacional, y también porque la detección de ondas gravitacionales es un logro bastante reciente. Como se indica en la introducción de Loeb y Moaz (2014), la precisión de los relojes atómicos de red óptica ha alcanzado$\sim 10^{-18}$, que es precisamente el prefactor numérico en el frente de su Eq. (1).

¿No sería interesante aumentar la captura de LIGO/VIRGO de la distorsión del espacio con la captura simultánea de la dilatación del tiempo (ambos causados ​​por la misma onda gravitatoria que pasa)?

¡Sí, de hecho lo sería! Pero creo que esto requeriría el uso de tratamientos más sofisticados del espacio-tiempo de fondo, que está dominado por la gravedad del sistema solar para LIGO/Virgo, en lugar de tratarlo como plano. Además, como señala @HDE 226868, hacer esto con gran precisión requiere varios interferómetros terrestres, ¡lo que probablemente será una realidad en el futuro!

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EDITAR: Esta fue mi primera respuesta que no es muy relevante para el OP. Aunque las matrices de sincronización de púlsares (PTA) no miden la dilatación del tiempo gravitacional propiamente dicha, como lo señala HDE 226868 , lo mantendré aquí en aras de la claridad para mi propia progresión al pensar en estas preguntas.

El púlsar binario descubierto por Hulse y Taylor en 1974 fue el primer púlsar binario descubierto, y fue la primera verificación observacional (más tarde en 1975) de la existencia de ondas gravitacionales; sin embargo, la detección directa de ondas gravitacionales no ocurrió hasta 2015 por LIGO y Virgo a través de coalescencias binarias compactas.

De todos modos, los PTA son una red de púlsares conocidos cuyos retrasos en el tiempo de llegada de los pulsos de luz están correlacionados por una onda gravitacional que pasa. Intuitivamente, tal onda gravitacional necesitaría tener una longitud de onda larga, por lo que un candidato natural ha sido el fondo estocástico de las ondas gravitacionales. Las diversas correlaciones que existen en las redes se manejan de innumerables formas.

El consorcio Nanograv ha estado recopilando datos durante más de una década y recientemente publicó este documento anunciando su progreso. Están a punto de hacer una detección del fondo estocástico, pero hay algunas correlaciones que aún se están resolviendo.

¡Hay otras PTA que se están diseñando/construyendo, por lo que el futuro parece brillante para este campo!

En coordenadas cartesianas, el intervalo de espacio-tiempo plano se puede escribir en términos de tiempo propio invariante$\tau$como

$$c^2 d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\ ,$$ dónde$t$es una coordenada de tiempo universal y la convención de notación habitual que$dt^2 = (dt)^2$se usa

Para todos los observadores estacionarios, en el marco de referencia para el cual$x, y, z$están definidos, entonces$dx= dy=dz=0$y por lo tanto$d\tau = dt$pues todos los relojes que están estacionarios en ese marco y la razón de los tiempos propios es la unidad. Es decir, el reloj que lleva el observador, que mide$\tau$, también medidas$t$y no hay dilatación de tiempo entre diferentes observadores estacionarios. Las cosas cambian de rumbo, por supuesto, cuando los observadores comienzan a moverse, eso es la Relatividad Especial.

La relevancia de esto es que una onda gravitacional (GW) aplica una pequeña perturbación a la métrica, por lo que el intervalo de espacio-tiempo para un GW que pasa viajando a lo largo de la$z$-eje es:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - (1+a_+\sin \omega t)dx^2 -2a_\times\sin(\omega t +\phi) dxdy - (1 - a_+\sin\omega t)dy^2 - dz^2\ ,$$ dónde$\omega$es la frecuencia GW,$a_+$y$a_\times$son las amplitudes de las diminutas perturbaciones GW, una para cada una de las posibles polarizaciones "más" y "cruzadas", y$\phi$es una diferencia de fase arbitraria entre esas polarizaciones.

Si$dx=dy=dz=0$, entonces se puede ver que sigue siendo el caso que$d\tau = dt$y no hay dilatación de tiempo entre relojes en diferentes lugares.

Todo esto supone que estás lejos de la fuente de las ondas gravitacionales, por lo que las ondas pueden considerarse transversales.