Diferencia de tiempo de detección de ondas gravitacionales entre LIGO Livingston y LIGO Hanford

Se actualizó para usar los intervalos de confianza de tiempo informados en lugar de tratar de inferir los de las incertidumbres de resolución de ubicación del cielo informadas. El último enfoque fue engañoso porque la ubicación del cielo se resolvió aún más utilizando más información que solo la diferencia de tiempo de llegada.

Tenga en cuenta que no soy astrónomo ni estoy involucrado con aLIGO. Aquí solo uso la geometría euclidiana clásica, combinada con transformaciones ocasionales entre coordenadas cartesianas y esféricas.

Tenemos dos observatorios,$L$(Livingston) y$H$(Hanford) y un punto lejano$E$emitiendo una señal (onda gravitacional). Supongamos que la señal se propaga a velocidad constante$c$a través de materia de baja densidad, incluido el planeta Tierra. La distancia en línea recta entre$L$y$H$(pasando por la Tierra) es$|HL| \approx c\cdot 10.0\cdot10^{-3}\,\mathrm{s}$.

$L$recibe la señal de$E$acerca de$t_{ELH}\approx 7\cdot10^{-3}\,\mathrm{s}$antes de$H$. Esto implica que$E$es una distancia$d = c\,t_{ELH}$más cerca de$L$que a$H$.

Ahora suponiendo geometría euclidiana a gran escala y mirando el plano que contiene$E,L,H$, el conjunto de todos los puntos candidatos$E$donde$|EH|-|EL| = d$es una rama de una hipérbola, es decir, la rama más cercana a$L$:

De hecho, establecer

$$\begin{align} r &= \frac{d}{2} & r_1 &= \frac{|HL|}{2} & R &= |LE| \\ L &= (r_1,0) & H &= (-r_1,0) & E &= (x,y) \end{align}$$ obtenemos la ecuación de la hipérbola cartesiana $$\frac{x^2}{r^2} - \frac{y^2}{r_1^2-r^2} = 1$$ y en coordenadas polares, visto desde $L$: $$R = \frac{r_1^2 - r^2}{r - r_1\cos\alpha}$$ para muy grande $R/r_1$, $|\alpha|$debe estar muy cerca de su límite asintótico: $$\begin{align} \cos\alpha &\approx \frac{r}{r_1} = \frac{d}{|HL|} = \frac{t_{ELH}}{t_{HL}} \\ \text{where}\quad t_{HL} &= \frac{|HL|}{c} \approx 10.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{s} \qquad\text{(time directly from $H$ to $L$)} \end{align}$$ En 3D esto significa que $E$descansa sobre una de las dos láminas de un hiperboloide de revolución cuyo eje de revolución es la línea $HL$. En particular, en $L$vista del cielo, parcialmente oculta bajo el horizonte, debería haber una banda circular bastante delgada que cubra todos los puntos candidatos proyectados para $E$.

El ángulo de visión sólido encerrado por la banda circular es

$$A_{\text{ste}} = 2\pi(1 - \cos\alpha) \approx 2\pi\left(1 - \frac{t_{ELH}}{t_{HL}}\right)$$ Incertidumbres en $t_{ELH}$producir incertidumbres en $\cos\alpha$que ensanchan la banda circular. Así, el círculo se convierte en un anillo. El ángulo de visión sólido cubierto por ese anillo mide $$\begin{align} A_{\text{ste.max}} - A_{\text{ste.min}} = 2\pi(\cos\alpha_{\text{min}} &{}- \cos\alpha_{\text{max}}) \approx 2\pi\frac{t_{ELH\text{.max}} - t_{ELH\text{.min}}}{t_{HL}} \\ \text{briefly:}\quad \Delta A_{\text{ste}} &\approx 2\pi\frac{\Delta t_{ELH}}{t_{HL}} \end{align}$$ Sustituyendo los datos informados por $t_{ELH}$, con $\text{min}$y $\text{max}$refiriéndonos a intervalos de probabilidad del 90%, tenemos: $$\begin{array}{rcrrr} \text{entity} & \text{unit} & \text{nom} & \text{min} & \text{max} & \Delta \\\hline t_{ELH} & 10^{-3}\,\mathrm{s} & 6.9 & 6.5 & 7.4 & 0.9 \\ \cos\alpha & 1 & 0.69 & 0.65 & 0.74 & 0.09 \\ 90^\circ - \alpha & {}^\circ & 44 & 41 & 48 & 7 \end{array}$$ Y así, el anillo, cuando se proyecta a una esfera unitaria (celeste), cubre $$\Delta A_{\text{ste}} \approx 0.18\pi \approx (1.9\cdot10^3)^{\circ\circ}$$ (Él ${}^{\circ\circ}$significa grados cuadrados .) Por el contrario, el valor informado de la región creíble varía entre $140^{\circ\circ}$(50% de probabilidad) y $590^{\circ\circ}$(90% de probabilidad). Esto se debe a que se podrían descartar grandes partes del anillo en función de información adicional, como las proporciones de intensidad de la señal. Pero esos refinamientos no son el tema de este hilo.

Para una visualización más fácil, movámonos a un punto$B$en la superficie de la Tierra donde el centro del anillo está en el cenit, y el anillo mismo está a una altitud constante$90^\circ - \alpha$, como se indica en la tabla anterior. Con ese fin, deja$O$ser la ubicación del centro de la Tierra y requieren que el rayo 3D$OB$apunta en la misma dirección que el rayo$HL$. Esto determina la latitud y la longitud de$B$. Tenga en cuenta que el cambio paralelo de$HL$a$OB$incurre en un paralaje, pero eso es insignificante porque la distancia a$E$es tan grande

Idealizando nuestro planeta a una esfera y haciendo los cálculos (transformando las ubicaciones de$H$y$L$de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas, calculando el vector de diferencia, normalizándolo y transformándolo de nuevo a coordenadas esféricas), encuentro$B$vencer

$$B\colon\ 27^\circ 21'54.22''\mathrm{S}\ 38^\circ 36'33.45''\mathrm{W} = 27.365061^\circ\mathrm{S}\ 38.609293^\circ\mathrm{W}$$ que está a unos 700 km al sureste de Río de Janeiro en el Atlántico . Si hubieras estado allí 2015-09-14 09:50:45 UTCy hubieras girado sobre ti mismo, dibujando una banda a una altura constante $90^\circ - \alpha \approx 44^\circ$y ancho $7^\circ$en el cielo, eso habría marcado todas las direcciones donde la fuente de la señal $E$podría haber sido.

Para simular la vista del cielo, he escrito un pequeño script gw150914.stspara Nightshade :

# Display the sky at the time of the aLIGO GW150914 observation
# from an Earth-based position chosen such that the set of possible sky
# positions of the source form a circular annulus with azimuth-independent
# altitude = asin(delta_t/10ms), about 44 deg.
clear
timerate rate 0
date utc 2015-09-14T09:50:45
flag show_tui_datetime on
set home_planet "Earth"
moveto lat -27.365061 lon -38.609293 alt 0 heading 0 duration 2
wait duration 2
flag azimuthal_grid on
zoom fov 120 duration 2

Esto da la vista a continuación. He agregado círculos verdes discontinuos para delimitar el anillo.

Pero no espere encontrar lugares candidatos probables dentro de ese anillo. El anillo oculta la profundidad radial del volumen del espacio proyectado. Un rango para esa profundidad radial viene dado por los límites estimados para la distancia$R=|LE|$. El volumen del espacio plano correspondiente es

$$\Delta V = \frac{1}{3}\Delta A_{\text{ste}} \left(R_{\text{max}}^3 - R_{\text{min}}^3\right)$$ Conectando los valores informados, nuevamente desde intervalos de probabilidad del 90%, $$\begin{align} \Delta A_{\text{ste}} &\approx 590^{\circ\circ} \approx 0.0572\pi & R_{\text{min}} &\approx 0.23\cdot10^{9}\,\mathrm{pc} & R_{\text{max}} &\approx 0.57\cdot10^{9}\,\mathrm{pc} \end{align}$$ rendimientos $$\Delta V \approx 10^{25}\,\mathrm{pc}^3$$ Para obtener una estimación aproximada del número de galaxias en ese volumen, multipliquemos $\Delta V$con una estimación aproximada de densidad de galaxias de $10^{-20}\,\mathrm{pc}^{-3}$, lo que resulta en aproximadamente $10^5$galaxias en ese volumen. Mi conclusión de este cálculo al dorso del sobre es que no podemos esperar localizar $E$más, a menos que se le dé más información.

Las cosas hubieran sido un poco diferentes si hubiéramos tenido un tercer observatorio aLIGO distante de la línea$HL$operativo y capaz de detectar la señal de$E$. Entonces podríamos dibujar tres anillos, tomar intersecciones y así determinar la dirección de la señal dentro de un punto razonablemente pequeño en la esfera celeste.

Otras lecturas

• Como nos dice esta publicación de LIGO , partes del anillo podrían descartarse al considerar características adicionales de los datos, como la intensidad variable de la señal.
• En este artículo de LIGO se proporciona una descripción más detallada de las distribuciones de probabilidad de los resultados .
• En este documento se proporciona más información sobre los métodos utilizados para estrechar aún más las regiones creíbles del cielo de la ubicación de origen .

Apéndice

Un script equivalente gw150914.sscpara Stellarium :

// Display the sky at the time of the aLIGO GW150914 observation
// from an Earth-based position chosen such that the set of possible sky
// positions of the source form a circular annulus with azimuth-independent
// altitude = asin(delta_t/10ms), about 44 deg.

var obs_lat = -27.365061;
var obs_long = -38.609293;
var obs_alt = 0;
var obs_locname = "Atlantic, 700km SE from Rio de Janeiro";
var obs_planet = "Earth";
var obs_date = "2015-09-14T09:50:45";
var duration = 2;

core.clear("deepspace");
core.setTimeRate(0);
core.setDate(obs_date, "utc");
core.setObserverLocation(obs_long, obs_lat, obs_alt, duration,
                         obs_locname, obs_planet);
core.wait(duration);
core.moveToAltAzi("90", "0", duration);
core.wait(duration);
GridLinesMgr.setFlagAzimuthalGrid(true);
StelMovementMgr.zoomTo(120, duration);

Y sí, core.setObserverLocationespera la longitud antes que la latitud.

Así es como mi mente no científica lo visualiza. Dibujo una línea recta entre los dos sitios LIGO en un mapa. Luego tomo otra línea recta (como un borde recto/regla) que representa la entrada de GW. Si la línea de GW viene del sur exactamente paralela a la línea que dibujé en el mapa, ambos sitios detectarían el "chirrido". exactamente al mismo tiempo (0 milisegundos de diferencia). Si la línea GW viene desde el sur exactamente perpendicular a mi línea dibujada, golpeando primero el sitio de Los Ángeles, entonces se detectaría un chirrido en cada sitio con aproximadamente 10 milisegundos (?) de diferencia (suponiendo que ese es el tiempo que tarda la luz en viajar entre el dos sitios en línea recta).

Así que imagino que la "línea" GW vino desde el sur en algún lugar entre paralelo y perpendicular (más cerca de la perpendicular) en relación con mi línea dibujada. Alguien más inteligente que yo puede descifrar las matemáticas y corregir ángulos, números, etc.

¿Tiene eso algún sentido?

La adición de más detectores ayudará enormemente a la localización de eventos. Para comprender el cálculo, observe el antiguo sistema de navegación LORAN. Este sistema utilizaba transmisores sincronizados y el receptor medía la diferencia de tiempo.

El dispositivo receptor midió el tiempo entre señales de múltiples fuentes, que emiten un sonido al mismo tiempo. Si escucha los chirridos al mismo tiempo, de dos de los transmisores sincronizados, entonces está en el plano equidistante entre las fuentes. El plano es perpendicular a la línea entre las fuentes y en el punto medio. Si trazas la intersección del plano y la superficie de la tierra, se crea un gran círculo. Estás en el gran círculo.

Las señales que tienen una diferencia en el tiempo de recepción forman una superficie curva. A medida que atraviesa la tierra, define una línea curva en la superficie (hiperbólica).

Si las señales llegan en momentos diferentes, entonces estás más cerca de una que de la otra. Los gráficos utilizados para determinar la posición tenían trazadas líneas de diferencia de tiempo constante. Escuchaste un par de transmisores, obtuviste tu diferencia horaria, encontraste la línea en el gráfico que representa ese retraso. Haga esto para otro par de transmisores, obtenga esa diferencia, encuentre la línea para ese par con ese retraso, y donde se cruzan las líneas es aproximadamente donde se encuentra.

Esto se repite para varios pares y para encontrar todas las intersecciones (las dos mejores líneas son las que se cruzan en ángulo recto para reducir el error posible en los cronómetros).

Esto es lo mismo al revés.

Obtenga más pares de oyentes y podemos comenzar a aislar la región del espacio de la fuente de la señal.

Espero que eso ayude.

La señal no viaja de Livingston a Hanford. La señal entra con un ángulo de unos 45 grados con respecto a la línea que los une, y tiene la misma amplitud en planos perpendiculares a la dirección de viaje (los picos de las ondas de agua no están en la dirección de viaje de las ondas de agua, sino perpendiculares). al sentido de la marcha). Por lo tanto, si la señal llegara a los 90 grados de la línea que une Hanford y Livingston, los picos de la señal llegarían a ambos al mismo tiempo. Si entraba en la dirección a lo largo del camino, entonces tomaría la señal 10 ms más tarde en Hanford que en Livingston. A los 45 grados llegaría el pico de Livingston$\cos(45°) \times 10$milisegundo$= 7$ms tarde en Hanford que en Livingston. Por lo tanto, la dirección de la señal está en un cono con un ángulo de vértice muy cercano a los 45 grados. Eso es todo lo que uno podría decir del tiempo.

Los detectores de Hanford y Livingston se construyeron para ser lo más paralelos posible entre sí. Si viviéramos en una tierra plana, entonces la señal en ambos sería idéntica. La tierra es curva. Así, el detector de Hanford está inclinado con respecto a la línea recta que los une unos 27 grados con respecto a Livingston. Esto significa que la sensibilidad del detector no es la misma para las direcciones entrantes a lo largo del cono. En algunas direcciones, Hanford tiene aproximadamente el 50% de la sensibilidad de Livingston, mientras que para otras son casi iguales. Al comparar las amplitudes en Hanford y Livingston, uno puede tener una idea muy aproximada de dónde provino la señal a lo largo de ese cono de 45 grados, limitando las direcciones a algo así como la mitad del cono.

Cuando Virgo se conectó, a pesar de que su sensibilidad es mucho menor que la de cualquiera de los detectores LIGO, esa información de tiempo adicional es suficiente para limitar fuertemente las direcciones de las que podría provenir la señal.

El 12 de febrero, James escribió: "Una diferencia de 7 ms implicaría una separación mínima de los sitios de unos 2000 km, no un máximo".

La separación mínima calculada de los sitios es de unos 3001,65 km frente a la máxima estimada de 3030,12 km indicada por gollum ese mismo día. La separación angular entre los detectores de Livingston y Hanford es de alrededor de 27,25 grados desde el centro de nuestro planeta utilizando un radio promedio de la Tierra de 6371,0 Km y da este resultado. Si las ondas gravitacionales GW150914 detectadas se propagan hacia el exterior a una velocidad mayor que la de la luz, una diferencia de 7 ms está de acuerdo con esta distancia MÍNIMA posible del detector.

La velocidad de GW el 2015/09/14/09:50:45 UT según este argumento sería:

(3001,65 km/2099,0 km)*c ~ 1,43 veces la velocidad de la luz