¿Teoría detrás de los patrones formados en las placas de Chladni?

Question

¿Teoría detrás de los patrones formados en las placas de Chladni?

ondas
Física
acústica
resonancia
vibraciones

Beni Bogosel

En este video de placas Chladni vibrando , podemos ver pequeñas partículas de arena alinearse en diferentes patrones interesantes (que también se muestran en la imagen a continuación) que corresponden a algunas vibraciones particulares.

¿Cuál es la teoría detrás de este hecho? ¿Los patrones creados están relacionados con las funciones propias de Laplace de la forma? En caso afirmativo, ¿cómo se relacionan y qué importancia tiene el punto de origen de la vibración?

www.physics.ucla.edu/demoweb/demomanual/acoustics/effects_of_sound/chladniarray.jpg

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Relacionado: motls.blogspot.cz/2013/04/ernst-chladni-anniversary.html y physics.stackexchange.com/q/78351/2451

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¿Teoría detrás de los patrones formados en las placas de Chladni?

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Chris Müller · Answer 1

Lo que estás viendo en la placa cuadrada son los modos resonantes de la estructura. Cada uno de estos modos tiene una frecuencia particular asociada con él, y se activa cuando la placa se acciona a esa frecuencia. Estos modos resonantes actúan como ondas estacionarias en una cuerda : algunas partes de la placa se mueven mucho mientras que otras partes están quietas. La arena rebota lejos de las partes que se mueven mucho (los nodos) y se deja en los lugares donde la placa no se mueve en absoluto (los anti-nodos).

Abordaré sus preguntas específicas con más detalle en orden inverso.

¿Qué importancia tiene el punto de origen de la vibración?

Casi ninguno (con algunas salvedades). Si conduce la placa en uno de sus nodos (un punto en el que se moverá mucho), entonces excitará el modo resonante más que si lo hace en un punto que está cerca de un antinodo. Sin embargo, esto solo afectará la amplitud, no la forma del modo.

Una advertencia es que si la estructura tiene mucha fricción interna (amortiguación), la estructura de modo cambiará ligeramente y la altura de los nodos desaparecerá a medida que te alejes del punto de origen.

¿Los patrones creados están relacionados con las funciones propias de Laplace de la forma?

No estoy seguro de lo que quiere decir con funciones propias de Laplace. Como se describe en la siguiente sección, las soluciones son funciones propias de la ecuación de onda bidimensional . El punto de partida para la solución comienza con lo que podría llamarse las funciones propias de Fourier, pero las condiciones de contorno (que son complicadas en el caso de una hoja que puede moverse libremente en los extremos) cambian estas soluciones en algo completamente diferente.

¿Cuál es la teoría detrás de este hecho?

Este artículo de revista tiene una derivación sistemática de exactamente la situación sobre la que está preguntando. Esta nota tiene una derivación más fácil de analizar de la situación similar de una membrana rectangular estirada. Puedo repasar los conceptos básicos del caso de la membrana aquí y señalar dónde es diferente de su caso cuando sea necesario.

Si considera un material elástico y escribe las fuerzas sobre una pieza infinitesimal del material en función de su altura, encontrará que la ecuación que describe la altura de cualquier pieza es la ecuación de onda bidimensional;

\frac{\partial^{2} tu (X, y, t)}{\partial t^{2}} = \frac{T}{ρ} (\frac{\partial^{2} tu (X, y, t)}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} tu (X, y, t)}{\partial y^{2}}),

$\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial t^2}=\frac{T}{\rho}\left(\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial y^2}\right),$

dónde $T$ es la tensión de la superficie (unidades de fuerza por longitud) y $\rho$ es la densidad de masa (unidades de masa por área). Una forma más simplificada de escribir esta ecuación que se presta mejor a una solución por separación de variables es

C^{2} \nabla^{2} tu = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} tu

$c^2\nabla^2 u=\frac{\partial^2}{\partial t^2}u$ dónde

c^{2} = \frac{T}{ρ}

$c^2=\frac{T}{\rho}$ . En el caso de un material rígido como su situación este coeficiente viene dado por

c^{2} = \frac{m ω^{2}}{D}

$c^2=\frac{m\omega^2}{D}$ dónde

D

$D$ es la rigidez cilíndrica del material,

ω

$\omega$ es la frecuencia de resonancia, y

m

$m$ es la masa.

Usando la separación de variables podemos separar esta ecuación en tres ecuaciones diferenciales unidimensionales independientes;

\begin{aligned} \frac{d^{2}}{d t^{2}} GRAMO (t) + (C v)^{2} GRAMO (t) & = 0 \\ \frac{d^{2}}{d X^{2}} H (X) + k^{2} H (X) & = 0 \\ \frac{d^{2}}{d y^{2}} q (y) + {pags}^{2} q (y) & = 0 \\ {pags}^{2} + k^{2} & = v^{2}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^2}{dt^2}G(t)+(c\nu)^2G(t)&=0\\ \frac{d^2}{dx^2}H(x)+k^2H(x)&=0\\ \frac{d^2}{dy^2}Q(y)+p^2Q(y)&=0\\ p^2+k^2&=\nu^2, \end{align}$ dónde

u (x, y, t) = G (t) H (x) Q (y)

$u(x,y,t)=G(t)H(x)Q(y)$ . Las soluciones a estas ecuaciones pueden considerarse como funciones propias de Fourier; es decir

\sin

$\sin$ ,

\cos

$\cos$ ,

\sinh

$\sinh$ , y

\cosh

$\cosh$ .

Como con todos los problemas físicos, necesitamos especificar las condiciones de contorno para obtener soluciones físicamente significativas. Como ejemplo, una lámina de goma que se sujeta en los bordes tiene las condiciones de contorno,

tu (\pm a, y) = 0 & tu (X, \pm b) = 0

$u(\pm a, y)=0\qquad\&\qquad u(x,\pm b)=0$ dónde

2 a

$2a$ y

2 b

$2b$ son los

x

$x$ y

y

$y$ dimensiones de la hoja respectivamente. Estas condiciones dicen que la hoja no puede moverse hacia arriba y hacia abajo en los bordes donde está sujeta. Esta situación es bastante sencilla de resolver y se resuelve en la nota mencionada anteriormente.

Tu situación es un poco más difícil porque los bordes son completamente libres de moverse. En este caso, debe incorporar a las condiciones de contorno el hecho de que la placa es un objeto rígido que no necesita estar bajo tensión para sostenerse. Tomándolos del artículo mencionado anteriormente, son

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} + v_{pags} \frac{\partial^{2} tu}{\partial y^{2}} & = \frac{\partial^{3} tu}{\partial X^{3}} + (2 - v_{pags}) \frac{\partial^{3} tu}{\partial X \partial y^{2}} = 0 @ X = \pm a \\ \frac{\partial^{2} tu}{\partial y^{2}} + v_{pags} \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} & = \frac{\partial^{3} tu}{\partial y^{3}} + (2 - v_{pags}) \frac{\partial^{3} tu}{\partial X^{2} \partial y} = 0 @ y = \pm b, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\nu_p\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}&=\frac{\partial^3u}{\partial x^3}+(2-\nu_p)\frac{\partial^3u}{\partial x\partial y^2}=0\qquad @ x=\pm a\\ \frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\nu_p\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=\frac{\partial^3u}{\partial y^3}+(2-\nu_p)\frac{\partial^3u}{\partial x^2\partial y}=0\qquad @ y=\pm b, \end{align}$ dónde

ν_{p}

$\nu_p$ es un parámetro de material conocido como relación de Poisson que describe cuánto se expande un material en una dirección cuando se comprime en la otra.

Lo bueno de la solución de la ecuación de onda por separación de variables es que las soluciones que encuentra forman un conjunto completo de funciones propias para el problema. Además, sus valores propios le indican la frecuencia de resonancia de cada modo en particular. La siguiente imagen muestra las soluciones de segundo, tercer y cuarto orden de su ecuación (tomadas del artículo de la revista a la que se hace referencia). Cuando excita estos modos con la arena en el plato, la arena rebota lejos de los puntos altos y permanece en los puntos inmóviles que se llaman líneas nodales . Estas líneas nodales son los lugares donde la solución sigue siendo cero en el siguiente diagrama.

Algunos modos propios de SV Bosakov. "Frecuencias propias y modos propios modificados de una placa rectangular con bordes libres" Journal of Applied Mathematics and Mechanics, volumen 73, número 6, 2009, páginas 688–691

En realidad, las placas de Chladni no están descritas por la ecuación de onda, es decir, por las funciones propias del Laplaciano, sino por las funciones propias del operador biarmónico , es decir, el Laplaciano al cuadrado. Se puede encontrar más información y referencias históricas en un hermoso artículo de Gander y Wanner . Incluso si trata de derivar la ecuación de onda para una cuerda, utilizando el modelo de "masas conectadas por cuerdas", debe suponer que está bajo tensión, es decir, los resortes están pretensados, o obtendrá el operador biarmónico y no la ecuacion de onda
@GregGraviton Wow, no sabía que Ritz hizo contribuciones tan grandes para resolver problemas variacionales. gracias por compartir ese articulo
Tenga en cuenta que el "artículo de revista" que cita tiene un defecto: los modos no satisfacen las condiciones de contorno a menos que $\alpha$ o $\beta$ son cero.
@GregGraviton Tienes razón, por supuesto, pero no $\Delta$ y $\Delta^2$ comparten las mismas funciones propias?
@ user2617 No necesariamente. Los operadores diferenciales deben combinarse con las condiciones de contorno para describir completamente un problema físico. Por ejemplo, el operador derivado $-i\partial_x$ en el intervalo $[0,L]$ tiene diferentes espectros y funciones propias si imponemos diferentes condiciones de contorno. Específicamente, las condiciones de contorno adecuadas tienen la forma $\psi(0)=e^{i\phi}\psi(L)$ dónde $e^{i\phi}$ Es una fase compleja de elegir. Las funciones propias dependen de esta elección. Las condiciones de contorno para el operador biarmónico son más complicadas que para el laplaciano.

Ben Paul Thurston · Answer 2

El documento de Ritz es bastante profundo, pero lo simple es esta fórmula para los números enteros m y n graficados donde implícitamente es igual a 0.

Fue una fórmula que reconstruí al experimentar con las fórmulas que encontré en las fuentes mencionadas anteriormente, no la derivé de cero, lo siento.

usuario8736288 · Answer 3

La teoría de las placas vibratorias es un poco más complicada que la que se usa para la vibración de membranas, como se comentó en una respuesta anterior. Y, sin embargo, esto supone una placa delgada (se desprecia el cortante al igual que en la teoría de vigas de Euler Bernouilli). La teoría fue desarrollada por Sophie Germain, Poisson y, en última instancia, por Kirchhoff. Así que la teoría de las placas de Kirchhoff debería ser lo que estás buscando. Observe en particular la condición de frontera aplicable en un borde libre derivada por Kirchhoff (dada en una respuesta anterior): ¡no es muy intuitiva! De hecho, las soluciones analíticas solo se conocen para algunas geometrías dadas y condiciones de contorno prescritas. Recomendaría la siguiente referencia: Leissa, AW (1969). Vibración de placas. Universidad Estatal de Ohio Columbus. Otra referencia general para la teoría: Graff, KF (1975). MOVIMIENTO ONDULAR EN SÓLIDOS ELÁSTICOS. Publicación de: Oxford University Press.

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